Integrali: concetti fondamentali e integrali immediati

In questo appunto verrà descritta la teoria fondamentale del calcolo integrale, partendo dalla base del calcolo integrale, introducendo il concetto di primitiva, integrale definito, integrale indefinito, fino ad introdurre il calcolo degli integrali immediati.

Il calcolo integrale

L’integrale è un operatore matematico, grazie al quale è possibile calcolare l’area sottesa ad una curva funzione qualsiasi.
Sia data una funzione continua y=f(x) e si voglia determinare l’area sottesa alla curva nell’intervallo [a,b].

Il procedimento prevede un processo dinamico infinitesimale.
Ripartiamo l’intervallo da considerare in n parti e per ciascuno di queste calcoliamo l’area del rettangolino.

Il teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia f(x) una funzione reale di variabili reale definita in un intervallo [a,b]. L’area sottesa alla curva sarà pari alla differenza della primitiva calcolata tra l’estremo superiore e l’estremo inferiore. L'integrale di questa funzione in questo intervallo si andrà pertanto a calcolare come segue:

Si consideri la derivata della funzione y=F(x), dove dunque F(x) è la primitiva pari a:

Si definisce primitiva y=F(x) della funzione quella funzione y=f(x) la cui derivata è uguale alla funzione stessa:

Da cui si ottiene:

Le primitive

Sappiamo che l’operazione di derivazione, quando è possibile, associa a una funzione un’altra funzione, la sua derivata, che è unica. Vogliamo ora affrontare il problema inverso della derivazione: data una funzione, esiste una funzione la cui derivata sia uguale alla funzione data? Per esempio, data f(x) = 2x, ci chiediamo se esiste una funzione F(x) la cui derivata è 2x. Una funzione di questo tipo viene detta primitiva di f(x).

Definizione di Primitiva di una funzione

Una funzione F(x) si dice primitiva della funzione f(x) definita nell’intervallo [a; b] se F(x) è derivabile in tutto [a; b] e la sua derivata è f(x). La primitiva di una funzione non è unica. Poiché

ha come derivata 2x, allora

è una primitiva di 2x. Osserviamo però che anche

e in generale

(con c costante reale) hanno come derivata 2x, quindi esistono infinite primitive di 2x.
In generale, se una funzione f (x) ammette una primitiva F(x), allora ammette infinite primitive del tipo F(x) + c, con c numero reale qualunque. Infatti, poiché la derivata di una costante è nulla:

Viceversa, se due funzioni F(x) e G(x) sono primitive della stessa funzione f (x), allora le due funzioni differiscono per una costante, pari a come segue:

e perciò si ottiene quanto segue:

Concludiamo quindi che: se F(x) è una primitiva di f (x), allora le funzioni F(x) + c, con c numero reale qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di f (x).

L’integrale indefinito

Riprendiamo l’esempio della funzione f(x) = 2x. Diamo all’insieme delle sue primitive

, con c numero reale qualunque, il nome di integrale indefinito di f(x) = 2x e usiamo questa scrittura:

Definizione di integrale indefinito

Si chiama integrale indefinito della funzione f(x), e si indica con

, l’insieme di tutte le primitive

, con c numero reale qualunque.
Nella scrittura

la funzione f(x) è detta funzione integranda e la variabile x variabile di integrazione.
Questo significa che l’integrazione indefinita agisce come operazione inversa della derivazione.
Una funzione che ammette una primitiva (e quindi infinite primitive) si dice integrabile.
Quali sono le funzioni integrabili? Si può dimostrare che è valido il seguente teorema.

Teorema sulla condizione sufficiente di integrabilità

Se una funzione è continua in [a; b], allora ammette primitive nello stesso intervallo.
Tuttavia, non è sempre facile determinare primitive anche di funzioni continue abbastanza semplici.

Gli integrali indefiniti immediati

Dalle regole di derivazione delle funzioni elementari ricaviamo gli integrali indefiniti fondamentali.

L’integrale di

L’integrale di

L’integrale della funzione esponenziale

L’integrale delle funzioni seno e coseno

L’integrale delle funzioni le cui primitive sono le funzioni inverse circolari

L’integrale di

L’integrale della funzione esponenziale

L’integrale delle funzioni seno e coseno