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Funzioni reali di variabile reale

Fra i tipi di funzioni giocano un ruolo importante le funzioni che hanno come dominio e codominio dei sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali R, che vengono chiamate funzioni reali di variabile reale.
La legge che definisce una funzione reale di variabile reale viene quasi sempre assegnata in forma algebrica e può essere scritta in 2 modi:
f(x)=... dove al posto dei puntini ci sarà l'espressione analitica della funzione;
y=f(x), dove f(x) è l'espressione analitica.
Dunque, la funzione che associa a ogni numero reali il suo doppio può essere scritta o f(x)=2x o y=2x.
Ma, come si calcola l'immagine di un numero a partire dall'espressione analitica?
Iniziamo a definire la funzione
[math]f(x) = x^2-2x+2[/math]
e scegliamo di trovare l'immagine di -1.
Per trovare l'immagine di -1, che si indica con il simbolo f(-1), basterà sostituire -1 alla x nell'espressione analitica:
[math]f(-1) = (-1)^2-2(-1)+2 = 1+2+2 = 5[/math]
: l'immagine di -1 è 5.
Quando viene assegnata l'espressione analitica di una funzione reale di variabile reale senza indicare il dominio e il codominio si da per convenzione come dominio l'insieme costituito da tutti i numeri reali per i quali le operazioni dell'espressione analitica si possono svolgere, e come codominio l'insieme R.
Dunque, come si trova il dominio?
a.
[math]y = 2x+1[/math]
.
b.
[math]y = \frac{1}{x-1}[/math]
.
.
a: L'espressione analitica dice che per svolgere questa funzione bisogna raddoppiare il numero scelto e aggiungere 1. Qualsiasi numero reale dato l'operazione è possibile, perciò il dominio di questa funzione è l'insieme R.
b: L'equazione che definisce la funzione dice che, per ottenere l'immagine dell'elemento x, bisogna sottrarre da x il numero 1 e poi calcolarne il reciproco: la sottrazione è sempre possibile in R mentre il calcolo del reciproco è possibile solo con x-1 ≠ 0, cioè x ≠ 1 (infatti sarebbe impossibile svolgere la divisione 1/0). Dunque il dominio si può trovare per ogni x appartenente ai reali escluso lo 0. In simboli:
[math]\forall x \in \mathbb{R} - {1}[/math]
.
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