Concetti fondamentali di matematica, con definizioni ed esempi

FUNZIONE: in matematica una funzione è definita dai seguenti

oggetti: un insieme A detto dominio della funzione (f), ovvero

l’insieme dei valori che la x può assumere, e un insieme B detto

codominio della funzione (f) formato dalle immagini degli elementi

R, si chiama funzione reale definita

di A. Sia A un sottoinsieme di

nell’insieme A una relazione/legge che ad ogni elemento x in A

associa uno ed un solo numero reale, elemento y in B indicandolo

con f(x), ed è detta corrispondenza univoca . Si dice che x è

l’argomento della funzione, la variabile indipendente, mentre y è

una variabile dipendente della funzione.

Dati due insiemi non vuoti A e B si chiama funzione da X in Y una

relazione f tale che per ogni x A esiste uno ed un solo elemento

∈

y B tale che (x,y) f e quindi y = f(x). Il fatto che f sia una

∈ ∈

funzione da X in Y che associa a x l’elemento f(x) si può esprimere

con la scrittura f: x y per cui x f(x)

→ →

CLASSIFICAZIONE: le funzioni reali di variabili reali sono definite per

valori reali, cioè il loro dominio è R e il codominio sarà sempre R. Le

algebriche

funzioni reali si dividono in (intere(espressa mediante un

polinomio di primo grado rispetto alla x, lineare/retta, o di secondo,

quadratica/parabola), fratte (espressa mediante un quoziente di

polinomi), razionali, irrazionali(se la variabile indipendente compare

trascendenti

sotto il segno di radice)) e

(esponenziali,logaritmiche,goniometriche,iperboliche)

LIMITI

si dice che la funzione f(x) definita in un insieme E ha per limite l

( )=l

lim f x

per x tendente a , e si scrive quando in

x 0 x → x 0

corrispondenza di un numero è possibile determinare un

>

ε 0

intorno completo I di tale che, per tutti i valori di x ed E e

x ε I

0

| |

diversi da , risulti

x ( )−l <

f x ε

0

∀ ∃ ∀ ∈

>0

ε I I

( / )

x x x

0 0

Se I è un intorno dx di k si parla di limite destro di f(x) per cui

+¿ ( )=l

x → k f x 1

¿

lim

¿

Se I è un intorno sx di k si parla di limite sinistro di f(x) per cui

−¿ ( )=l

x → k f x 2

¿

lim

¿

Se per f(x) esiste il lim dx e il lim sx e questi sono uguali allora la

f(x) ha limite per x → k

LIMITE INFINITO si dice che la funzione f(x) ha per limite l’infinito

( ) =∞

lim f x

per x e si scrive quando

→ k x→ k

In corrispondenza del numero M>0 esiste un intorno completo I di k

| |

tale che per tutti i valori di x I e diversi da k risulti (

( )−l >

f x M

ε

∀ ∀ ∈

>

M 0∃ I I

/ )

x x x

0 0

LIMITE ALL’INIFINITO si dice che la funzione f(x) per x ha per

→ ∞

( )=l

lim f x

limite l e si scrive quando in corrispondenza di un numero

x→∞ | |

esiste un numero tale che per ogni valore di

> >0 >

ε 0 N x N

| |

risulti .

( )−l <

f x ε

Se tale condizione è soddisfatta solo per x > N oppure soltanto per

x < -N, si dice che l è il limite al quale tende la funzione per x →+∞

o per x →−∞

( )=l ( )=l

lim f x lim f x

e

x →+∞ x →−∞

FUNZIONE CONTINUA Una funzione f(x) si dice continua nel punto x

= k se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

- Esiste un valore della f(x) in k

- Esiste il limite della f(x) per x k

→

- Il limite coincide con il valore della funzione in k

( ) =f ( )

lim f x k

Per cui x→ k

La funzione è continua nell’intervallo (a,b) se è continua in ciascun

dell’intervallo,

punto è continua in tale intervallo se riesco a

tracciare il suo grafico senza mai staccare la penna dal foglio.

Una funzione può essere continua in un punto solo se quel punto

appartiene al dominio della funzione.

CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

- Una funzione costante è continua in ogni punto

- Ogni funzione razionale intera è continua in R

- Ogni funzione razionale fratta è continua per ogni valore che

non annulli il denominatore

- Una funzione (a>0) è continua per ogni valore della x

x

y=a

- Una funzione (a>0) è continua per ogni valore

y=log x

positivo della x

- Una funzione (a ) è continua per ogni x>0

∈

a R

y=x

- Le funzioni e sono continue in R

y=sin x y=cos x

PUNTI DI DISCONTINUITÀ Si dice punto di discontinuità di una

funzione a valori reali un punto appartenente al dominio di nel

quale la funzione non risulti continua.

Nel caso di una funzione a una sola variabile , questo significa che un

∈

x

punto (a,b) è di discontinuità se e solo se non è verificata la condizione:

0

( )= ( )=f ( )

f x lim f x x 0

−¿

x→ k +¿ ¿

x → k ¿

lim

¿

A seconda del modo in cui questa condizione viene a mancare, i

punti di discontinuità vengono raggruppati sotto tre famiglie, dette

specie: di prima specie:

1. discontinuità il limite destro e il limite sinistro

per x tendente a esistono e sono finiti, ma sono diversi tra

x 0

loro; di seconda specie:

2. discontinuità almeno uno dei due o

entrambi i limiti per x tendente a è infinito (positivo o

x 0

negativo) oppure non esiste;

di terza specie eliminabile):

3. discontinuità (o esistono uguali e

finiti i limiti destro e sinistro per x tendente a , ma il loro

x 0

valore è diverso dal valore di f nel punto . È detta

x 0

eliminabile perché si potrebbe ridefinire la funzione in odo che

risulti continua.

ASINTOTI

DEFINIZIONE: La parola deriva dal greco, e significa “non tocca”. Un

asintoto è una retta tale che la distanza tra essa e la curva della

f

funzione tende a 0 per x ∞ (asintoti orizzontali o obliqui) o per

→

x f

che tende ad un punto ove la non è definita o è discontinua

(asintoti verticali). r

Genericamente una retta si dice che è un asintoto per una curva di

equazione y = f(x) se la curva si avvicina indefinitamente alla retta

senza ai raggiungerla.

Il termine asintoto è utilizzato in matematica per denotare una

retta, o più generalmente una curva, alla quale si avvicina

indefinitamente una funzione data.

Data una funzione, l’asintoto è una retta.

L’asintoto può avere varie posizioni in un piano cartesiano

ortogonale: può

essere orizzontale, verticale, obliquo rispetto agli assi cartesiani.

Sia y = f(x) l’equazione di una curva definita in un

Asintoto verticale k

intervallo illimitato e un punto dell’intervallo in cui la funzione non

è definita o è discontinua. Si dice che La retta di equazione x = k è

asintoto verticale alla curva rappresentativa della funzione y =

( )=±

lim f x ∞

f(x), se vale almeno una delle seguenti relazioni: ±

x →k

In pratica la curva si accosta indefinitamente ad una retta verticale

di equazione

La retta di equazione x = k può essere asintoto verticale

ascendente o discendente a seconda che tenda a più infinito o a

meno infinito. In generale la ricerca degli asintoti verticali per una

funzione si effettua calcolando i limiti destro e sinistro (o uno di

questi), e, in tal caso, vale comunque la definizione data.

Asintoto orizzontale Sia y = f(x) l’equazione di una curva definita

in un intervallo illimitato.

Si dice che la retta di equazione y = l e un asintoto orizzontale per

la curva.

In pratica si verifica che la curva si avvicina indefinitamente ad una

retta

orizzontale di equazione y = l da entrambi i lati o da uno solo.

y = l f

Si dice che la retta è un asintoto orizzontale per la funzione

( )=l

lim f x

se si verifica una almeno delle seguenti condizioni: x →∓ ∞

l

Ove è un numero reale. In pratica la curva si accosta sempre più

y = l l

ad una retta di equazione ed in questo caso è il numero quel

che dobbiamo determinare.

Asintoto Obliquo A volte può esistere un asintoto obliquo, ovvero

la curva tende ad una retta di equazione y = mx + q. Questo

( )=±

lim f x ∞

accade quando si ha che x →∞

ed inoltre esistono finiti i due limiti:

( )

f x

- coefficiente angolare (tangente

(se m 0)

=m

lim ≠

x

x →± ∞

goniometrica dell’angolo a che l’asintoto forma con l’asse delle

ascisse

( )−mx=¿

f x q

- ¿

lim

x →± ∞

La derivata di una funzione in un punto è il limite, se

x

DERIVATA 0

esiste ed è finito, per x del seguente rapporto incrementale

→ x 0

( )−f ( )

f x x 0

¿

lim x → x x−x

0 0

' ( ) =¿

f x

0

SIGNIFICATO GEOMETRICO la derivata di una funzione nel punto x 0

è uguale al coefficiente angolare della retta tangente alla curva di

equazione y = f(x) nel punto di ascissa x .

0

Una funzione continua non è sempre derivabile: se ho un punto

angoloso non ho la derivata perché la derivata dx è diversa dalla

derivata sx (una funzione si dice continua in un punto quando il lim

sx = lim dx = lim f(x) del punto e coincide col valore di f( ) )

x 0

EQUAZIONE DELLA TANGENTE AD UNA CURVA y = f(x)

Se P [ ] è un punto della curva y = f(x), derivabile in la

x ,

(x )

x ; f

0 0 0

'

( ) ( )

tangente alla curva in P ha equazione =f (x−x )

y−f x x

0 0 0

TEOREMA DI DE L’HOPITAL 0 ∞

Le forme indeterminate dei limiti di funzione e possono

0 ∞

'' (x)

f

¿

lim …

x→ k ' ' (

g x)

' (x)

f

¿ =¿

lim

essere calcolate in base al teorema: valido per

x → k ' (x )

g (x )

f

¿ =¿

lim x→ k )

g( x

¿

funzioni derivabili in un intorno di k. Il primo teorema valido per la

0

forma indeterminata consiste nel derivare il numeratore e il

0

denominatore senza applicare la regola del quoziente. Il secondo

teorema invece si usa nel caso in cui il segno dell’∞ non è precisato.

MASSIMI E MINIMI determinano i punti in cui la derivata prima si

annulla. È Max relativo in un punto del suo dominio f(x) se esiste un

intorno di tale punto del quale risulti f(x) . È Min relativo

(x )

∀ ≤ f

x 0

in un punto del suo dominio se esiste un intorno di tale punto

x 0

del quale risulti f(x) .

(x )

∀ ≥ f

x 0