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L’integrale definito

Il calcolo degli integrali definiti nasce dalla necessità di calcolare le aree di figure piane aventi contorno curvilineo, chiamate trapezoidi. Dati una funzione f(x) e un intervallo chiuso e limitato [a;b] nel quale la funzione è continua e positiva (o nulla), si chiama trapezoide la figura piana delimitata dall’asse x, dalle rette x=a e x=b e dal grafico di f(x). La sua area è calcolabile approssimandola con il seguente procedimento:
• dividere l’intervallo [a;b] in n parti uguali di ampiezza h = (b-a)/n;
• considerare gli n rettangoli aventi ciascuno per base un segmento di suddivisione e per altezza il segmento associato al minimo mi che la funzione assume in tale intervallo;
• indicare con sn la somma delle aree di tutti gli n rettangoli;
sn = m1h + m2h + … + mnh = Σni=1 mih
l’area del trapezoide viene così approssimata per difetto da sn.
in maniera analoga è possibile approssimare per eccesso l’area del trapezoide tramite la somma delle aree dei rettangoli associati a una scomposizione dell’intervallo [a;b] in n parti uguali e aventi per altezza il segmento associato al massimo Mi della funzione nel corrispondente intervallo. Si indichi la somma con Sn.
Sn = M1h + M2h + … + Mnh = Σni=1 Mih
Sn e sn vengono chiamate rispettivamente somma integrale inferiore e superiore. L’area S del trapezoide risulta compresa tra le due aree precedenti (sn≤S≤Sn).
Data una funzione f(x) continua in [a;b], si chiama integrale definito esteso all’intervallo [a;b] il valore comune del limite per n → +infinito delle due successioni sn e Sn.
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