Integrale definito: teoria e calcolo

In questo appunto vengono spiegati in modo approfondito gli integrali definiti, viene descritto il procedimento teorico che utilizza le sommatorie e viene fornito il procedimento da seguire negli esercizi per il calcolo degli integrali definiti.

L’integrale definito e le sommatorie

Il calcolo degli integrali definiti nasce dalla necessità di calcolare le aree di figure piane aventi contorno curvilineo, chiamate trapezoidi.
Dati una funzione f(x) e un intervallo chiuso e limitato [a;b] nel quale la funzione è continua e positiva (o nulla), si chiama trapezoide la figura piana delimitata dall’asse x, dalle rette x=a e x=b e dal grafico di f(x).

La sua area è calcolabile approssimandola con il seguente procedimento:

• dividere l’intervallo [a;b] in n parti uguali di ampiezza
  [math]h = \frac{(b-a)}{n}[/math]
  ;
• considerare gli n rettangoli aventi ciascuno per base un segmento di suddivisione e per altezza il segmento associato al minimo
  [math]m_i[/math]
  che la funzione assume in tale intervallo;
• indicare con
  [math]s_n[/math]
  la somma delle aree di tutti gli n rettangoli.

L’area di un rettangolo può essere calcolata moltiplicando la lunghezza della base per la lunghezza dell’altezza perciò possiamo scrivere l’area totale come somma dell’area di ogni singolo rettangolo avente base h e altezza

l’area del trapezoide viene così approssimata per difetto da

(l’approssimazione è per difetto in quanto si è considerata come altezza il valore minimo che la funzione assume nell’intervallo considerato).

In maniera analoga è possibile approssimare per eccesso l’area del trapezoide tramite la somma delle aree dei rettangoli associati a una scomposizione dell’intervallo [a;b] in n parti uguali e aventi per altezza il segmento associato al massimo

della funzione nel corrispondente intervallo.
Si indichi la somma con .

Tale sommatoria ci fornirà un valore in eccesso dell’area che si vuole calcolare in quanto è stata considerata come altezza del rettangolo il massimo che la funzione assume in quell’intervallo.

e vengono chiamate rispettivamente somma integrale inferiore e superiore.

L’area S del trapezoide risulta compresa tra le due aree precedenti:

Data una funzione f(x) continua in [a;b], si chiama integrale definito esteso all’intervallo [a;b] il valore comune del limite per n →

delle due successioni

[math]s_n[/math]

e

[math]S_n[/math]

.

Tale affermazione consiste nell’eseguire il calcolo dell’area come riportato in precedenza ma scegliendo un numero di intervalli sempre maggiore, tendente all’infinito in modo che la larghezza dell’intervallo scelto sia sempre minore e il rettangolo individuato sia sempre più simile alla funzione considerata.
Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni e sulle loro caratteristiche vedi anche qua

L’integrale definito e il calcolo pratico

Il procedimento riportato nel paragrafo precedente è utile per comprende a livello teorico il concetto di integrale definito e per comprendere l’associazione tra questo tipo di integrali e il calcolo dell’area sottesa da una curva.
Gli integrali definiti infatti vengono molto utilizzati sia in campo matematico che in campo fisico per calcolare l’area di una figura quando tale figura è complessa e non si conosce una formula esplicita per il calcolo dell’area o per calcolare l’area sottesa da una certa funzione.

Gli integrali definiti possono essere calcolati in modo analogo agli integrali indefiniti (integrali in cui non sono specificati gli estremi dell’intervallo in cui si vuole calcolare l’area), con l’aggiunta di un passaggio finale.
Ricordiamo che gli integrali si calcolano trovando la primitiva della funzione contenuta nel segno di integrale, per calcolare un’integrale è quindi utile ricordare le primitive di alcune funzioni principali.

È importante ricordare inoltre alcune proprietà degli integrali:

• integrale di una somma=somma degli integrali È sempre possibile separare un integrale contenente una somma o una differenza, nella somma degli integrali dei due termini della sommatoria;
• è sempre possibile portare fuori dal segno dell’integrale una costante (numero che non dipende dalla variabile con cui si sta calcolando l’integrale).

Ricordiamo che la proprietà che ci permette di separare l’integrale della somma nella somma degli integrali, funziona solo nel caso della somma e della differenza, non funziona quindi nel caso del prodotto.

Per calcolare il valore di un integrale definito nell’intervallo [a,b] è necessario seguire i seguenti passaggi:

• trovare la primitiva della funzione contenuta nel segno di integrale;
• calcolare la primitiva per x=b, per x=a ed eseguirne la differenza.

Riportiamo in seguito un esempio per poter comprendere meglio il procedimento.

Come prima cosa è necessario calcolare la primitiva della funzione f(x)=x
Ricordiamo che per trovare la primitiva di una funzione polinomiale è necessario seguire la seguente regola:

La funzione contenuta nell’integrale è f(x)=x perciò l’esponente del monomio è n=1.
Seguendo la regola per il calcolo della primitiva riportato in precedenza e considerando n=1 otteniamo che la primitiva è

Possiamo quindi scrivere che:

Calcoliamo ora la primitiva per x=2:

Calcoliamo ora la primitiva per x=0:

Ed eseguiamo la differenza dei valori:

Per ulteriori approfondimenti sugli integrali indefiniti vedi anche qua