Funzioni continue e calcolo dei limiti

Riassumendo, possiamo dire che una funzione f(x) continua nel punto x = c se:

• esiste il valore della funzione nel punto c;
• esiste il limite della funzione per x tendente a c;
• il valore del limite uguale al valore della funzione in c.

In particolare, possiamo distinguere due casi; se si ha che:

si dice che la funzione f(x) continua in c dalla sinistra; se invece, di ha che:

si dice che la funzione f(x) continua in c dalla destra.

Osserviamo che, se una funzione è continua in un punto c, il punto c deve essere un punto di accumulazione del dominio della funzione, cioè tale che, in ogni suo intorno esiste almeno un elemento del dominio distinto dal punto c stesso.

Definizione di funzione continua in un intervallo

Una funzione f(x) si dice continua in un intervallo I se essa è continua in ogni punto di I.

L'insieme dei valori di x per cui una funzione è continua è detto insieme di continuità di f(x) e, molto spesso, esso coincide proprio con il dominio della funzione.

Continuità delle funzioni elementari

Vediamo alcuni esempi di funzioni elementari continue.

• La funzione costante

La funzione costante f(x) = k è continua per qualunque valore di x; infatti, sappiamo che per ogni c reale, si ha che:

e, poiché il valore di f(x) in x = c proprio k, la funzione è continua per tutti i valori di x.

• La variabile indipendente

La funzione f(x) = x continua per tutti i valori di x; infatti, consideriamo un generico c reale: abbiamo che f(c) = c. Si può verificare che per qualunque valore di x, si ha che:

• La funzione esponenziale

Anche la funzione esponenziale continua per ogni x reale, e si ha che:

• La funzione logaritmica

La funzione logaritmica continua per ogni valore di x positivo, e si ha che:

Calcolo dei limiti delle funzioni continue

Se una funzione è continua, possiamo calcolare facilmente il suo limite per x che tende ad un valore numerico c. Infatti, dalla definizione di funzione continua, sappiamo che se una funzione f(x) è continua in un punto x = c, si ha che:

Quindi, per calcolare il limite della funzione, per

), sapendo che essa è continua in x = c, basta calcolare il valore della funzione in questo punto, cioè f(c).

Esempio di calcolo del limite attraverso la continuità della funzione:

Calcoliamo il seguente limite:

Sappiamo che la funzione esponenziale è una funzione continua in ogni x reale, quindi è continua in particolare anche in x = 2. Quindi, possiamo calcolare facilmente il limite della funzione per

), in quanto questo corrisponde proprio con il valore che la funzione assume in x = 2: