Probabilità: che cos'è e come si calcola

In quest'appunto troverai informazioni riguardanti in generale la teoria della probabilità e il suo calcolo.

Perché e com'è nata la teoria della probabilità

Questa teoria studia eventi e sviluppa metodi e calcoli per esprimere quantitativamente la probabilità del verificarsi dell’evento.
Il calcolo della probabilità è presente in quasi tutte le scienze, sia naturali sia sociali.

Molti fenomeni in tali discipline hanno comportamenti descrivibili tramite modelli probabilistici anziché deterministici: questo significa ammettere una certa approssimazione sia nella descrizione del fenomeno sia nella conoscenza della sua evoluzione.

Un modello deterministico implica che, date certe condizioni iniziali, siano sempre determinate conseguenze, quantificabili in modo esatto. Un modello probabilistico induce incertezza riguardo al verificarsi di avvenimenti e alle loro regole di accadimento. La probabilità parte da concetti primitivi (non spiegabili) dai quali, mediante deduzioni logiche, discendono teoremi, proposizioni ed implicazioni applicative.

Un modello deterministico è, ad esempio, un modello economico poiché tutte le variabili presenti non sono aleatorie. Un tipico modello probabilistico è, invece, quello che permette di calcolare le previsioni metereologiche, poiché molte variabili sono collegate a fenomeni incontrollabili.

Quali sono i concetti base della probabilità

Uno degli step fondamentali della teoria della probabilità è comprenderne il lessico. I concetti base di questa disciplina sono:

• Si definisce evento un avvenimento che può verificarsi o meno, ma anche ognuno dei possibili sottoinsiemi
  [math]E[/math]
  di uno spazio campionario. L'evento elementare è, invece, ogni elemento
  [math]e[/math]
  del sottoinsieme. Poiché l'evento è il fatto di cui si studiano le modalità con cui si verifica, esso può assumere due valori: vero oppure falso. Per questo motivo, risulta certo se l'evento si verifica necessariamente, possibile oppure impossibile qualora l'evento non si verifichi mai
• la probabilità, ossia il grado di possibilità che ha l’evento di verificarsi
• Gli esiti o i casi sono le diverse modalità con cui può verificarsi l’esperimento casuale associato ad un evento
• Esperimento casuale, che consiste nell'esecuzione di una o più prove
• lo spazio dagli eventi, ossia l’insieme
  [math]S[/math]
  di tutti i possibili casi associati all’esperimento

Come si calcola la probabilità

Per definire il valore di probabilità in matematica è necessario fare più esperimenti ed osservare il caso, ossia gli esiti. Supponiamo di voler calcolare la probabilità del risultato testa a seguito del lancio di una monetina. Il primo step da fare è effettuare

lanci. Chiaramente, più

cresce, più valori sono coinvolti nel calcolo della probabilità e quindi più questa risulterà accurata. A seguito di ogni lancio, bisogna osservare quante teste e quante croci sono state registrate.

In matematica, il valore della probabilità è calcolato come

, dove

è il valore dei casi favorevoli e

è il numero di esperimenti effettuati. Ciò significa che, per calcolare la probabilità di ottenere il risultato "testa", bisogna dividere il numero di "teste" ottenute durante gli esperimenti per il numero di tutti i lanci.

Come si può dedurre anche dalla formula matematica, il valore della probabilità è sempre compreso tra 0 e 1 e può essere espresso in forma percentuale (ad esempio

) o in forma decimale(

). Per passare dal valore decimale a quello percentuale basta moltiplicare per 10.

Esercizi sul calcolo della probabilità

Svolgi i seguenti esercizi relativi al calcolo della probabilità, fornendo il risultato e un commento esaustivo sul procedimento (le soluzioni sono in fondo alla pagina).

• E' stata organizzata una lotteria a premi in cui vi è un unico premio in palio. Supponendo che sono stati venduti 250 biglietti, a quanto ammonta la probabilità di vittoria?
• Sul tavolo ci sono 50 scatole, di cui: 12 contengono una torta, 10 dei biscotti, 4 dei cioccolatini. Il resto delle scatole presenti è vuoto. Supponendo di dover aprire soltanto una scatola, calcola la probabilità di trovare ciascun dolciume e la probabilità di aprire una scatola vuota.

Svolgimento commentato degli esercizi

• Per calcolare la probabilità di vittoria, dobbiamo riconoscere il numero di casi totali e quello dei casi favorevoli. Nell'ipotesi che vi sia un unico premio in palio, il numero di casi favorevoli è 1, poiché soltanto uno dei biglietti venduti consente di vincerlo. Tuttavia, ne sono stati venduti ben 250: per questo motivo, il calcolo della probabilità diventa
  [math]\frac{1}{250}[/math]
• In questo caso, bisogna calcolare quattro probabilità diverse, tenendo conto che il numero di casi totali non cambia poiché non varia il numero delle scatole presenti. Per ottenere il valore di ciascuna probabilità, bisogna fare il rapporto tra i casi favorevoli per ogni dolciume sul numero totale delle scatole presenti. Per quanto riguarda, invece, il calcolo della probabilità delle scatole vuote si può agire sottraendo all'unità
  [math]1[/math]
  tutte le altre probabilità oppure ricavando il numero delle scatole vuote e calcolando normalmente la probabilità attraverso un rapporto.
  La probabilità di trovare una torta aprendo un solo scatolo è di
  [math]\frac{12}{50}[/math]
  , quella dei biscotti è
  [math]\frac{10}{50}[/math]
  e, infine, quella dei cioccolatini ammonta a
  [math]\frac{4}{50}[/math]
  . La probabilità di trovare una scatola vuota, invece, può essere calcolata come
  [math]1-\frac{12}{50}-\frac{10}{50}-\frac{4}{50}[/math]
  oppure come
  [math]\frac{50-12-10-4}{50}[/math]
  .

Per ulteriori approfondimenti sulla teoria della probabilità vedi anche qua