In questo appunto di matematica vengono definite le espressioni, partendo dalla definizione, enunciando le regole principali fino ad arrivare a spiegare brevi esempi intuitivi.
Indice
Definizione di espressione
In matematica, con espressione si intende una combinazione finita di simboli ben organizzati in accordo con determinate regole dipendenti dal contesto.
Per ulteriori approfondimenti sulle espressioni vedi anche qua.
Classificazione delle espressioni
Tra i molteplici tipi di espressioni matematiche, quelli basilari consistono in:
- espressioni aritmetiche: possono essere presenti numeri reali, operazioni aritmetiche elementari, fattoriali;
- espressioni polinomiali: possono essere presenti i simboli delle espressioni aritmetiche con l'aggiunta di termini letterali con esponenti naturali;
- espressioni algebriche: possono essere presenti i simboli delle espressioni polinomiali con l'aggiunta di termini letterali con esponenti razionali.
Come è evidente, un'espressione aritmetica non è altro che un tipo particolare di espressione polinomiale (e quindi anche di espressione algebrica), così come un'espressione polinomiale è un tipo particolare di espressione algebrica.
Ordine con cui eseguire le operazioni con le espressioni
In presenza di parentesi, si comincia calcolando ciò che è presente nelle parentesi tonde, poi ciò che è presente nelle parentesi quadre, quindi ciò che è presente nelle parentesi graffe ed infine le operazioni rimaste.
Per quanto riguarda l'esecuzione di tali operazioni:
- Se sono presenti potenze esse hanno la precedenza su tutte le altre operazioni;
- Se sono presenti solo addizioni o solo moltiplicazioni si possono eseguire nell'ordine desiderato;
- Se sono presenti solo sottrazioni, solo divisioni, o addizioni e sottrazioni, oppure moltiplicazioni e divisioni occorre eseguire le operazioni nell'ordine scritto;
- Se sono presenti tutte e quattro le operazioni elementari si procede eseguendo prima le moltiplicazioni e le divisioni nell'ordine scritto e poi le addizioni e le sottrazioni sempre nell'ordine scritto.
Quando perde di significato un'espressione?
Un’espressione perde di significato in due casi principali:
- Nel caso in cui un denominatore si annulla;
- Nel caso in cui il radicando di una radice ad indice pari è negativo.
Calcolo di un'espressione aritmetica
- Esempio 1:[math]
\begin{aligned}
& \dots \left[\left(\frac{4}{5} - \frac{9}{10} + \frac{5}{3}\right):\left(-\frac{4}{15}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{3}{47}\right)^2 + \frac{1}{4} - 2 \\& = \left[\frac{4\cdot 6 - 9\cdot 3+5\cdot 10}{30}:\left(-\frac{4}{15}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{3}{47}\right)^2 + \frac{1}{4} - 2 \\
& = \left[\frac{47}{30}\cdot\left(-\frac{15}{4}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{3}{47}\right)^2 + \frac{1}{4} - 2 \\
& = \left[\left(\frac{47}{30}\right)\cdot\left(-\frac{15}{4}\right)\cdot\left(-\frac{3}{47}\right)\right]^2 + \frac{1}{4} - 2 \\
& = \left[\frac{3}{8}\right]^2 + \frac{1}{4} - 2 \\
& = \frac{9}{64} + \frac{1}{4} - 2 \\
& = \frac{9\cdot 1 + 1\cdot 16 - 2\cdot 64}{64} \\
& = - \frac{103}{64}
\end{aligned}\\
[/math] - Esempio 2:[math]
\begin{aligned}
& \dots \left[\left(\frac{7}{3} - \frac{5}{3} + \frac{11}{15}\right):\left(-\frac{7}{15}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{20}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \\& = \left[\frac{7\cdot 5 - 5\cdot 5+11\cdot 1}{15}:\left(-\frac{7}{15}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{20}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} + \frac {2}{3} \\
& = \left[\frac{21}{15}\cdot\left(-\frac{15}{7}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{20}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \\
& = \left[\left(\frac{21}{15}\right)\cdot\left(-\frac{15}{7}\right)\cdot\left(-\frac{20}{3}\right)\right]^2 - \frac{1}{3} + \frac {2}{3} \\
& = \left[20\right]^2 - \frac{1}{3} +\frac{2}{3} \\
& = 400 - \frac{1}{3} + \frac {2}{3} \\
& = \frac{400\cdot 3 - 1\cdot 1 + 2\cdot 1}{3} \\
& = + \frac{1201}{3}
\end{aligned}\\
[/math] - Esempio 3:[math]
\begin{aligned}
& \dots \left[\left(\frac{3}{5} - \frac{8}{5} + \frac{11}{15}\right):\left(-\frac{11}{30}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \\& = \left[\frac{3\cdot 3 - 8\cdot 3+11\cdot 1}{15}:\left(-\frac{11}{30}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} - \frac {2}{3} \\
& = \left[- \frac{4}{15}\cdot\left(-\frac{30}{11}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \\
& = \left[\left(\frac{4}{15}\right)\cdot\left(-\frac{30}{11}\right)\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)\right]^2 + \frac{1}{3} - \frac {2}{3} \\
& = \left[- \frac {32}{33}\right]^2 + \frac{1}{3} -\frac{2}{3} \\
& = \frac {1024}{1089} + \frac{1}{3} - \frac {2}{3} \\
& = \frac{1024\cdot 1 + 1\cdot 363 - 2\cdot 363}{1089} \\
& = + \frac{661}{1089}
\end{aligned}\\
[/math] - Esempio 4:[math]
\begin{aligned}
& \dots \left[\left(\frac{3}{8} - 2 + \frac{11}{32}\right):\left(-\frac{3}{16}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \\& = \left[\frac{3\cdot 4 - 2\cdot 32+11\cdot 1}{32}:\left(-\frac{3}{16}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} - \frac {2}{3} \\
& = \left[- \frac{41}{32}\cdot\left(-\frac{16}{3}\right)\right]^2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \\
& = \left[-\left(\frac{41}{32}\right)\cdot\left(-\frac{16}{3}\right)\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)\right]^2 + \frac{1}{3} - \frac {2}{3} \\
& = \left[- \frac {82}{9}\right]^2 + \frac{1}{3} -\frac{2}{3} \\
& = \frac {6724}{81} + \frac{1}{3} - \frac {2}{3} \\
& = \frac{6724\cdot 1 + 1\cdot 27 - 2\cdot 27}{81} \\
& = + \frac{6697}{81}
\end{aligned}\\
[/math]
Calcolo di un'espressione polinomiale
\begin{aligned}
& \dots \left[ \left(\frac{1}{2}\,a^2\,b\right)^2 + \frac{1}{6}\,a^2\,(-3\,a\,b)^3 \right] + 2\,b^2\left(-\frac{1}{2}\,a^2\right)^2 + 7\,a^3\,b\,(-a\,b)^2 \\
& = \left[ \frac{1}{4}\,a^4\,b^2 + \frac{1}{6}\,a^2\left(-27\,a^3\,b^3\right) \right] + 2\,b^2\,\frac{1}{4}\,a^4 + 7\,a^3\,b\left(a^2\,b^2\right) \\
& = \left[ \frac{1}{4}\,a^4\,b^2 - \frac{9}{2}\,a^5\,b^3 \right] + \frac{1}{2}\,a^4\,b^2 + 7\,a^5\,b^3 \\
& = \frac{3}{4}\,a^4\,b^2 + \frac{5}{2}\,a^5\,b^3
\end{aligned}\\
[/math]
Calcolo di un'espressione algebrica
\begin{aligned}
& \dots \left(\frac{4\,x^2 - 4\,x + 1}{y^2 - 1}\right)^2\cdot\left(2\,x^2 - x\right)^{-2}\cdot\left(y^3 - 1\right)^3 \\
& = \left[\frac{(2\,x - 1)^2}{(y + 1)\,(y - 1)}\right]^2\cdot\frac{1}{\left[x\,(2\,x - 1)\right]^2}\cdot\left[(y - 1)\left(y^2 + y + 1\right)\right]^3 \\
& = \frac{(2\,x - 1)^4}{(y + 1)^2\,(y - 1)^2}\cdot\frac{1}{x^2\,(2\,x - 1)^2}\cdot(y - 1)^3\cdot\left(y^2 + y + 1\right)^3 \\
& \text{C.E.:} \, y \ne \pm 1 \, \land x \ne 0 \, \land x \ne \frac{1}{2} \; ; \\
& = \frac{(2\,x - 1)^2\,(y - 1)\left(y^2+y+1\right)^3}{x^2\,(y + 1)^2} \\
\end{aligned}
[/math]
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