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Promemoria per risolvere equazioni e disequazioni esponenziali

1. Equazioni

Nel caso delle equazioni si possono presentare fondamentalmente 2 casi: i membri

sono riducibili a potenze aventi la stessa base oppure no.

es: = 1/4 ; quindi i due membri verranno ad avere la stessa

Qui 1/4 può essere scritto come

base. In questo caso basta eguagliare gli esponenti: x – 1 = - 2, ossia x = - 1.

Es: =

Poiché 9 = 3², i membri dell’equazione vengono ad assumere nuovamente la stessa

base; eguagliando gli esponenti viene fuori un’equazione di secondo grado in x,

x² - 4, che ha naturalmente come radici 2 e –2.

Es: = 1

L’equazione si può trasformare in = 7º. Eguagliando gli esponenti viene fuori

una equazione irrazionale di secondo grado, che non ammette soluzioni nell’ambito

dei numeri reali.

Es: = 0

In questo caso non è possibile ridurre i due membri alla stessa base; tuttavia si può

applicare un opportuno cambio di variabile. Ponendo t = l’equazione diventa

t² - 9t + 20 = 0, le cui soluzioni sono t = 4 e t = 5; si ottiene = 4, da cui x = 2, e

1 2 1

(2)

= 5, da cui x = log 5 .

2 2

2. Disequazioni

Nel caso delle disequazioni, valgono le stesse regole: si cerca di ridurre alla stessa

base i due membri, oppure, quando ciò risulta impossibile, cambiare la variabile;

tuttavia è necessario prestare particolare attenzione alla base a della potenza.

Nel caso in cui 0 < a < 1, cambia il verso della disequazione;

Nel caso in cui a > 1, il verso rimane invariato.

(1) Si presuppone che si conosca la definizione di equazione e disequazioni esponenziali e che si abbia una minima

padronanza di calcolo con le potenze.

(2) Tale scrittura significa, detto semplicisticamente, che x è l’esponente da dare a 2 per avere 5

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Funzione esponenziale: cos'è e come svolgere le equazioni Pag. 1
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Sintesi
In quest'appunto troverai informazioni sulla funzione esponenziale e su come svolgere le equazioni in cui essa è presente. In allegato puoi trovare un utile riassunto di quest'ultima parte.



Cos'è la funzione esponenziale e come si definisce


In matematica si definisce funzione qualsiasi relazione che lega dominio e codominio in modo da far corrispondere ad ogni elemento del dominio un solo elemento del codominio. Le funzioni si dividono in:

  • funzioni algebriche, fondate sull'applicazione ripetuta delle operazioni fondamentali, cioè addizione, sottrazione, divisione, moltiplicazione, elevamento a potenza e radice n-esima

  • funzioni trascendenti, di cui fanno parte tutte le altre funzioni, cioè quelle esponenziali, logaritmiche e trigonometriche (come seno, coseno etc.)


In quest'appunto approfondiremo le funzioni esponenziali.

Le funzioni del tipo
[math]y=\exp(x)[/math]
sono dette esponenziali. In particolare:

  • [math]e[/math]
    è la base dell'esponenziale, ed è quindi una costante

  • x è l'esponente dell'esponenziale, ed è una variabile. Se x è un numero negativo, la funzione prende il nome di esponenziale negativa


Eventuali coefficienti moltiplicati alla base o all'esponente aiutano a modificare la "pendenza" dell'esponenziale, mentre l'andamento è lo stesso in tutte le esponenziali. In particolare, la funzione esponenziale va all'infinito più velocemente rispetto a qualsiasi logaritmo o a qualsiasi potenza.

Come svolgere le equazioni con le funzioni esponenziali


Per svolgere un'equazione con le funzioni esponenziali in maniera comoda bisogna cercare di riscrivere le quantità al primo e al secondo membro come potenze dalla stessa base. Nel caso, ad esempio, di
[math]2^{x-1}=\frac{1}{4}[/math]
, la strategia più giusta sarebbe cercare di scrivere \frac{1}{4} come una potenza di base 2. Effettivamente, vale che
[math]\frac{1}{4}=2^{-2}[/math]
. Dopo aver riscritto primo e secondo membro come esponenziali dalla stessa base, eguagliamo gli esponenti:
[math]x-1=-2[/math]
, da cui discende
[math]x=-1[/math]
.

Non sempre, tuttavia, è semplice scrivere primo e secondo membro in un'esponenziale dalla base uguale. In quei casi, si può scegliere di agire secondo due modalità:

  • effettuare un cambio di variabile, cioè creare una variabile ausiliaria funzione di x nel tentativo di riscrivere l'equazione in una forma più agevole in termini di calcolo

  • utilizzare i logaritmi



Un esempio in cui è utile effettuare un cambio di variabile è il seguente
[math]2^{2x}-9\cdot2^{x}+20=0[/math]
. In questo caso, infatti, è opportuno considerare
[math]t=2^x[/math]
. In questo modo l'equazione diventa:
[math]t^2-9t+20=0[/math]
. Risolvendo il polinomio di secondo grado giungiamo alla soluzione
[math]t_1=4, t_2=5[/math]
, da cui
[math]2^{x}=4,x_1=2[/math]
e
[math]2^{x}=5, x_2=\log_2 (5)[/math]
.

Per calcolare la soluzione
[math]x_2[/math]
relativa a
[math]t_2[/math]
abbiamo utilizzato, come anticipato, i logaritmi, poiché non è possibile riscrivere 5 come una potenza di base 2. La quantità
[math]\log_2 (5)[/math]
corrisponde all'esponente da considerare su base 2 per ottenere 5 come risultato. Per questo motivo, dopo aver compiuto questo passaggio, è possibile ricavare anche la soluzione
[math]x_2[/math]
, riferita a
[math]t_2[/math]
.



Come svolgere le disequazioni con le funzioni esponenziali


Per quanto riguarda le disequazioni, le regole sono le stesse: è necessario cercare di scrivere le quantità a primo e secondo membro come potenze dalla stessa base. In questo caso, però, è bene guardare il segno della base della potenza, poiché:

  • se la base è maggiore di 1 il verso rimane invariato

  • se la base è compresa tra 0 e 1, ossia
    [math]0<a<1[/math]
    , è necessario cambiare il verso della disequazione


Gli step rimanenti sono uguali a quelli della risoluzione delle equazioni. Quindi, per risolvere la disequazione
[math](\frac{1}{2})^{x+9}>4[/math]
, si deve considerare
[math](\frac{1}{2})^{x+9}=2^{-x-9}[/math]
e
[math]2^{2}=4[/math]
, e quindi:
[math]2^{-x-9}>2^{2}[/math]
e quindi
[math]-x-9>2[/math]
e dunque
[math]x>11[/math]
.

Gli ultimi due paragrafi di questi appunti sono riassunti all'interno del file in allegato.

Per ulteriori approfondimenti sulla funzione esponenziale vedi anche qua
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