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Funzione esponenziale: cos'è e come svolgere le equazioni Pag. 1
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Sintesi
In quest'appunto troverai informazioni sulla funzione esponenziale e su come svolgere le equazioni in cui essa è presente. In allegato puoi trovare un utile riassunto di quest'ultima parte.



Cos'è la funzione esponenziale e come si definisce


In matematica si definisce funzione qualsiasi relazione che lega dominio e codominio in modo da far corrispondere ad ogni elemento del dominio un solo elemento del codominio. Le funzioni si dividono in:

  • funzioni algebriche, fondate sull'applicazione ripetuta delle operazioni fondamentali, cioè addizione, sottrazione, divisione, moltiplicazione, elevamento a potenza e radice n-esima

  • funzioni trascendenti, di cui fanno parte tutte le altre funzioni, cioè quelle esponenziali, logaritmiche e trigonometriche (come seno, coseno etc.)


In quest'appunto approfondiremo le funzioni esponenziali.

Le funzioni del tipo
[math]y=\exp(x)[/math]
sono dette esponenziali. In particolare:

  • [math]e[/math]
    è la base dell'esponenziale, ed è quindi una costante

  • x è l'esponente dell'esponenziale, ed è una variabile. Se x è un numero negativo, la funzione prende il nome di esponenziale negativa


Eventuali coefficienti moltiplicati alla base o all'esponente aiutano a modificare la "pendenza" dell'esponenziale, mentre l'andamento è lo stesso in tutte le esponenziali. In particolare, la funzione esponenziale va all'infinito più velocemente rispetto a qualsiasi logaritmo o a qualsiasi potenza.

Come svolgere le equazioni con le funzioni esponenziali


Per svolgere un'equazione con le funzioni esponenziali in maniera comoda bisogna cercare di riscrivere le quantità al primo e al secondo membro come potenze dalla stessa base. Nel caso, ad esempio, di
[math]2^{x-1}=\frac{1}{4}[/math]
, la strategia più giusta sarebbe cercare di scrivere \frac{1}{4} come una potenza di base 2. Effettivamente, vale che
[math]\frac{1}{4}=2^{-2}[/math]
. Dopo aver riscritto primo e secondo membro come esponenziali dalla stessa base, eguagliamo gli esponenti:
[math]x-1=-2[/math]
, da cui discende
[math]x=-1[/math]
.

Non sempre, tuttavia, è semplice scrivere primo e secondo membro in un'esponenziale dalla base uguale. In quei casi, si può scegliere di agire secondo due modalità:

  • effettuare un cambio di variabile, cioè creare una variabile ausiliaria funzione di x nel tentativo di riscrivere l'equazione in una forma più agevole in termini di calcolo

  • utilizzare i logaritmi



Un esempio in cui è utile effettuare un cambio di variabile è il seguente
[math]2^{2x}-9\cdot2^{x}+20=0[/math]
. In questo caso, infatti, è opportuno considerare
[math]t=2^x[/math]
. In questo modo l'equazione diventa:
[math]t^2-9t+20=0[/math]
. Risolvendo il polinomio di secondo grado giungiamo alla soluzione
[math]t_1=4, t_2=5[/math]
, da cui
[math]2^{x}=4,x_1=2[/math]
e
[math]2^{x}=5, x_2=\log_2 (5)[/math]
.

Per calcolare la soluzione
[math]x_2[/math]
relativa a
[math]t_2[/math]
abbiamo utilizzato, come anticipato, i logaritmi, poiché non è possibile riscrivere 5 come una potenza di base 2. La quantità
[math]\log_2 (5)[/math]
corrisponde all'esponente da considerare su base 2 per ottenere 5 come risultato. Per questo motivo, dopo aver compiuto questo passaggio, è possibile ricavare anche la soluzione
[math]x_2[/math]
, riferita a
[math]t_2[/math]
.



Come svolgere le disequazioni con le funzioni esponenziali


Per quanto riguarda le disequazioni, le regole sono le stesse: è necessario cercare di scrivere le quantità a primo e secondo membro come potenze dalla stessa base. In questo caso, però, è bene guardare il segno della base della potenza, poiché:

  • se la base è maggiore di 1 il verso rimane invariato

  • se la base è compresa tra 0 e 1, ossia
    [math]0<a<1[/math]
    , è necessario cambiare il verso della disequazione


Gli step rimanenti sono uguali a quelli della risoluzione delle equazioni. Quindi, per risolvere la disequazione
[math](\frac{1}{2})^{x+9}>4[/math]
, si deve considerare
[math](\frac{1}{2})^{x+9}=2^{-x-9}[/math]
e
[math]2^{2}=4[/math]
, e quindi:
[math]2^{-x-9}>2^{2}[/math]
e quindi
[math]-x-9>2[/math]
e dunque
[math]x>11[/math]
.

Gli ultimi due paragrafi di questi appunti sono riassunti all'interno del file in allegato.

Per ulteriori approfondimenti sulla funzione esponenziale vedi anche qua
Estratto del documento

(1)

Promemoria per risolvere equazioni e disequazioni esponenziali

1. Equazioni

Nel caso delle equazioni si possono presentare fondamentalmente 2 casi: i membri

sono riducibili a potenze aventi la stessa base oppure no.

es: = 1/4 ; quindi i due membri verranno ad avere la stessa

Qui 1/4 può essere scritto come

base. In questo caso basta eguagliare gli esponenti: x – 1 = - 2, ossia x = - 1.

Es: =

Poiché 9 = 3², i membri dell’equazione vengono ad assumere nuovamente la stessa

base; eguagliando gli esponenti viene fuori un’equazione di secondo grado in x,

x² - 4, che ha naturalmente come radici 2 e –2.

Es: = 1

L’equazione si può trasformare in = 7º. Eguagliando gli esponenti viene fuori

una equazione irrazionale di secondo grado, che non ammette soluzioni nell’ambito

dei numeri reali.

Es: = 0

In questo caso non è possibile ridurre i due membri alla stessa base; tuttavia si può

applicare un opportuno cambio di variabile. Ponendo t = l’equazione diventa

t² - 9t + 20 = 0, le cui soluzioni sono t = 4 e t = 5; si ottiene = 4, da cui x = 2, e

1 2 1

(2)

= 5, da cui x = log 5 .

2 2

2. Disequazioni

Nel caso delle disequazioni, valgono le stesse regole: si cerca di ridurre alla stessa

base i due membri, oppure, quando ciò risulta impossibile, cambiare la variabile;

tuttavia è necessario prestare particolare attenzione alla base a della potenza.

Nel caso in cui 0 < a < 1, cambia il verso della disequazione;

Nel caso in cui a > 1, il verso rimane invariato.

(1) Si presuppone che si conosca la definizione di equazione e disequazioni esponenziali e che si abbia una minima

padronanza di calcolo con le potenze.

(2) Tale scrittura significa, detto semplicisticamente, che x è l’esponente da dare a 2 per avere 5

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Pillaus
2 pagine
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