Cos'è una tautologia e come riconoscerla

In quest'appunto troverai una spiegazione del concetto matematico di tautologia, ulteriormente chiarito dalla presentazione di alcuni esempi.

L'importanza della logica in matematica

La matematica è una disciplina che presenta mille sfumature: una di queste è la logica. La logica si occupa di modellizzare tutti i concetti che vengono poi sfruttati nel corso delle dimostrazioni. Il suo obiettivo è, quindi, quello di dare delle regole affinché formule, teoremi, etc. possano essere espressi nel modo più chiaro possibile.

Alla base della logica matematica vi sono le proposizioni, ossia espressioni etichettabili solo ed esclusivamente come vere o come false. Per questo motivo, non sono considerate proposizioni tutte le frasi soggettive, in quanto possono risultare sia vere che false a seconda di chi le esprime. Tra le seguenti frasi, ad esempio:

• 2 è un numero pari
• le divisioni sono le operazioni più complesse

solo la prima risulta una proposizione, poiché oggettiva.

Le proposizioni possono essere interconnesse mediante operazioni proprio come i numeri: a tale proposito, la logica si serve di alcuni operatori. Consideriamo due proposizioni A e B. I principali operatori e connettivi sono:

• AND
  [math]\wedge[/math]
  : la proposizione A and B è vera solo se A e B sono vere
• OR
  [math]\vee[/math]
  : A or B è falsa solo se A e B sono entrambe false
• NOT: se A è una proposizione vera, not A è falsa

Per valutare quando e se una determinata proposizione sia vera o falsa è possibile definire una tavola di verità. Ecco le tavole di verità relative ai principali operatori appena citati:

Tavola di verità operatore AND

Tavola di verità operatore OR

Tavola di verità operatore NOT

Quando si parla di tautologia

Dopo aver fatto un breve richiamo sulla logica e sui principali operatori, possiamo definire il concetto di tautologia.
La tautologia è una proposizione - composta da altre proposizioni - che risulta sempre vera, qualsiasi sia il valore di verità attribuito alle proposizioni che la costituiscono.

Ciò significa che, se la tautologia è composta da tre proposizioni

essa risulta sempre vera, anche se una o più preposizioni tra A, B e C è falsa.

Per verificare se siamo in presenza di una tautologia, è quindi necessario costruire la tavola di verità della proposizione composta in esame. Se questa risulta sempre vera, la tautologia è verificata.

Esempi sulla tautologia

Ecco degli esempi di verifica di tautologia.
Supponiamo di avere una proposizione composta A or notA, simbolicamente esprimibile come . In questo caso, la tavola di verità sarebbe:

Dalla tavola di verità del connettore OR si deduce che in entrambi i casi le proposizioni sono vere. Questa, quindi, è una tautologia.

Facciamo un secondo esempio, relativo alla proposizione composta A and notA, simbolicamente esprimibile come

. La tavola di verità risulterebbe:

In questo caso, non siamo in presenza di una tautologia in quanto la proposizione composta risulta sempre negativa, ma si parla di contraddizione.

Per ulteriori approfondimenti sulla tautologia vedi anche qua