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Potenze con esponente negativo

La potenza

[math]b[/math]
di un numero reale
[math]n[/math]
è un numero della forma
[math]b = n^a[/math]

che mi dice di moltiplicare

[math]n[/math]
per se stesso a volte. Il numero a è sempre stato naturale, cioè maggiore o uguale a 0, mentre ora può essere anche negativo.

Quindi

[math]b = n^{-a}[/math]
significa che, per trovare
[math]b[/math]
, dobbiamo moltiplicare
[math]n[/math]
per se stesso
[math]-a[/math]
volte!

Ok, belle parole!!!!! Ma cosa significa???? Quante volte sono

[math]-a[/math]
??? Come dobbiamo comportarci???
È vero, sembra una lingua sconosciuta, ma niente paura! Ogni problema ha la sua soluzione!

Cominciamo considerando una potenza con esponente negativo unitario, ad esempio

[math]2^{-1}[/math]

Quando l'esponente è negativo, significa che non siamo interessati alla potenza in sé, bensì alla sua reciproca! Cosa significa? Beh, sappiamo tutti che ogni numero intero è una frazione avente 1 al denominatore!

[math]2 = 2/1\\

45 = 45/1[/math]

Allora, il "reciproco" di un numero è semplicemente il numero capovolto, cioè

[math]2^{-1} = 1/2\\

45^{-1} = 1/45\\

(1/2)^{-1} = 2\\

(3/5)^{-1} = 5/3[/math]

e così via. Quindi vale la regola

[math]n^{-1} = 1/n[/math]

Ma quando l'esponente non è unitario? Ancora molto semplice! Vogliamo sempre il reciproco di quella potenza! Dunque, ad esempio:

[math]2^{-3} = 2^{3×(-1)} =[/math]

(applichiamo la proprietà "potenza di potenza"(*))

[math] = (2^3)^{-1}= 1/(2^3) = 1/8[/math]
[math]7^{-2} = (7^2)^{-1} = 1/(7^2) = 1/49\\

(1/2)^{-3} = [(1/2)^3]^{-1} = (1/8 )^{-1} = 8\\

(4/3)^{-5} = [(4/3)^5]^{-1} = (1024/243)^{-1} = 243/1024[/math]

Osservazione: naturalmente, quando, per scomporre la potenza, applichiamo la proprietà "potenza di potenza"(*), è indifferente scrivere e/o svolgere prima la potenza numerica o quella unitaria negativa: il prodotto gode infatti della proprietà commutativa! Le seguenti relazioni sono perfettamente equivalenti:

[math]5^{-4} = (5^4)^{-1} = 625^{-1} = 1/625\\

5^{-4} = [5^{-1}]^4 = (1/5)^4 = 1/625[/math]

[math](*)\ (a^b)^c = a^{b×c} = a^{c×b}[/math]

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