Equazioni algebriche: definizione, classificazione ed esempi

In questo appunto di matematica si parla delle equazioni algebriche, partendo dalla loro definizione, passando per la classificazione, fino ad arrivare a formulare degli esempi che ci faranno capire meglio la teoria.

Che cosa sono le equazioni ?

L’equazione è un’uguaglianza tra due polinomi o meglio tra espressioni letterali, ad esempio:

Con

si indica l’incognita , cioè il valore da trovare:

Il valore trovato prende il nome di soluzione o radice dell’equazione.

Equazioni algebriche: definizione e loro classificazione

La classificazione è la seguente:

• Un'equazione algebrica si dice numerica quando, all'infuori dell'incognita, contiene soltanto numeri;
• Un'equazione algebrica si dice letterale quando contiene anche lettere, che rappresentano numeri ben determinati;
• Un'equazione algebrica si dice intera quando in entrambi i membri l'incognita
  [math] x [/math]
  non compare a denominatore;
• Un'equazione algebrica si dice fratta quando in almeno uno dei suoi membri vi sono delle frazioni che contengono l'incognita a denominatore;
• Un'equazione che non ammette soluzioni, si dice impossibile , mentre un'equazione che ammette infinite soluzioni si dice indeterminata ;

Equazioni di primo grado

La forma normale di un’equazione di primo grado è la seguente:

Dove:

• [math] a [/math]
  è il coefficiente del termine di primo grado;
• [math] b [/math]
  è il termine noto.

La soluzione dipende quindi dai valori delle costanti

e

:

• Se
  [math] a =0 [/math]
  e
  [math] b \neq 0 [/math]
  l’equazione non ha soluzione e si dice impossibile ;
• Se
  [math] a=b=0 [/math]
  l’equazione è soddisfatta per qualsiasi valore della variabile e si dice indeterminata ;
• Se
  [math] a \neq 0 [/math]
  l’equazione di dice determinata ed ha una sola soluzione:
  
  [math] x = - \frac {b}{a} [/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di primo grado vedi anche qua

Equazioni di secondo grado

La forma normale delle equazioni di secondo grado è la seguente:

Dove:

• [math]a ∈ \mathbb{R} [/math]
  è il coefficiente del termine di secondo grado;
• [math] b ∈ \mathbb{R} [/math]
  è il coefficiente del termine di primo grado;
• [math]c ∈ \mathbb{R} [/math]
  è il coefficiente del termine di ordine zero, anche chiamato termine noto.

L’equazione di secondo grado avrà soluzione se almeno

.
Se si avesse

avremmo un’equazione di primo grado se

.
Quindi le equazioni di primo grado sono un caso particolare delle equazioni di secondo grado.
Le soluzioni delle equazioni di primo grado si chiamano radici.
Un’equazione di secondo grado può avere:

• Due soluzioni: l’equazione ammetterà due soluzioni reali diverse fra loro;
• Una soluzione: l’equazione ammetterà una soluzione reale, in realtà l’equazione ammetterà due soluzioni reali coincidenti (quindi le due soluzioni sono uguali);
• Nessuna soluzione: l’equazione non ammetterà nessuna soluzione e quindi risulterà impossibile.

Ora concentriamoci sul metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado:
La forma dell’equazione di secondo grado è la seguente:

La formula risolutiva è la seguente:

Dove

si chiama discriminante ed è pari:

A seconda del valore del discriminante possiamo avere tre casistiche:

• Se
  [math] \Delta >0 [/math]
  l’equazione avrà due soluzioni reali e distinte:
  
  [math] x_{1} = \frac {-b + \sqrt {b^2 – 4ac}} {2a} [/math]
  [math] x_{2} = \frac {-b - \sqrt {b^2 – 4ac}} {2a} [/math]
• Se
  [math] \Delta = 0 [/math]
  l’equazione avrà due soluzioni reali coincidenti, quindi una soluzione:
  
  [math] x_{1} = x_{2}= \frac {-b} {2a} [/math]
• Se
  [math] \Delta >0 [/math]
  l’equazione non avrà soluzione e risulterà impossibile.
  

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di secondo grado vedi anche qua

Esempi applicativi

Facciamo alcuni esempi pratici:

• Esempio 1:
  
  [math] 5x =10 [/math]
  [math] x =2 [/math]
• Esempio 2:
  
  [math] 3x =6+3 [/math]
  [math] 3x =9 [/math]
  [math] x = 3 [/math]
• Esempio 3:
  
  [math] 3x = \frac {6}{3} [/math]
  [math] x = \frac {2}{3} [/math]
• Esempio 4:
  
  [math] 7x = \frac {28}{4} [/math]
  [math] x = \frac {7}{7} [/math]
  [math] x = 1 [/math]
• Esempio 5:
  
  [math] \frac {x}{2} = 4 [/math]
  [math] x = 8 [/math]
• Esempio 6: risolvere la seguente equazione:
  
  [math] x^2 – 3x +2 = 0 [/math]

  Svolgimento:
  

  [math] x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt \Delta} {2a} [/math]
  [math] \Delta = b^2 – 4ac [/math]

  

  Mettiamo i nostri dati:
  

  [math] \Delta = (-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 [/math]
  [math] \Delta = 9-8 = 1 [/math]
  [math] x_{1,2} = \frac {- (-3) \pm \sqrt 1} {2 \cdot 1} [/math]
  [math] x_{1} = \frac {3+1} {2} =2 [/math]
  [math] x_{1} = \frac {3-1} {2} =1 [/math]
• Esempio 7: risolvere la seguente equazione:
  
  [math] 2x^2 – 32 = 0 [/math]

  Svolgimento:
  

  [math] x_{1,2} = \pm \frac {-c} {a} [/math]
  Mettiamo i nostri dati:
  
  [math] x_{1,2} = \pm \frac {- (-32)} {2} [/math]
  [math] x_{1} = \frac {- (-32)} {2} =+4 [/math]
  [math] x_{2} = - \frac {- (-32)} {2} =-4 [/math]
• Esempio 8: risolvere la seguente equazione:
  
  [math] 7x^2 – 2x = 0 [/math]

  Svolgimento:
  

  [math] x_{1} = 0 [/math]
  [math] x_{2} = \frac {-b} {a} [/math]
  Mettiamo i nostri dati:
  
  [math] x \cdot (7x – 2) = 0 [/math]
  [math] x_{1} = 0 [/math]
  [math] x_{2} = \frac {- (-2)} {7} = \frac {2}{7} [/math]