Equazione di secondo grado: definizione, classificazione ed esempi

In questo appunto di matematica verranno analizzate le equazioni di secondo grado. In particolare ci concentreremo sulle varie tipologie, cioè pura, spuria e completa, andando a definire un metodo di risoluzione per tutte e tre le casistiche.
Verranno svolti anche dei brevi esempi che ci faranno capire la teoria.

Che cos’è un’equazione di secondo grado ?

La forma normale delle equazioni di secondo grado è la seguente:

Dove:

• [math]a ∈ \mathbb{R} [/math]
  è il coefficiente del termine di secondo grado;
• [math] b ∈ \mathbb{R} [/math]
  è il coefficiente del termine di primo grado;
• [math]c ∈ \mathbb{R} [/math]
  è il coefficiente del termine di ordine zero, anche chiamato termine noto.

L’equazione di secondo grado avrà soluzione se almeno

.
Se si avesse

avremmo un’equazione di primo grado se

.
Quindi le equazioni di primo grado sono un caso particolare delle equazioni di secondo grado.
Le soluzioni delle equazioni di primo grado si chiamano radici.
Un’equazione di secondo grado può avere:

• Due soluzioni: l’equazione ammetterà due soluzioni reali diverse fra loro;
• Una soluzione: l’equazione ammetterà una soluzione reale, in realtà l’equazione ammetterà due soluzioni reali coincidenti (quindi le due soluzioni sono uguali);
• Nessuna soluzione: l’equazione non ammetterà nessuna soluzione e quindi risulterà impossibile.

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di primo grado vedi anche qua

Classificazione delle equazioni di secondo grado

Possiamo fare una classificazione delle equazioni di secondo grado a seconda dei termini presenti in esse, in particolare possiamo avere:

• Equazione completa: quindi un’equazione di secondo grado nella forma normale dove tutti e tre i coefficienti sono presenti e non nulli:
  
  [math]a,b,c \neq 0[/math]
• Equazione pura o incompleta : rispetto alla forma normale il coefficiente del termine di primo grado è nullo, quindi l’equazione avrà la seguente forma:
  
  [math] a x^2 +c =0[/math]
• Equazione spuria: rispetto alla forma normale il termine noto è nullo, quindi l’equazione avrà la seguente forma:
  
  [math] a x^2 + bx =0[/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle equazioni di secondo grado vedi anche qua

Metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado complete

Ora concentriamoci sul metodo di risoluzione delle equazioni complete, quindi le equazioni di secondo grado che contengono tutti e tre i coefficienti.
La forma dell’equazione di secondo grado è la seguente:

La formula risolutiva è la seguente:

Dove

si chiama discriminante ed è pari:

A seconda del valore del discriminante possiamo avere tre casistiche:

• Se
  [math] \Delta >0 [/math]
  l’equazione avrà due soluzioni reali e distinte:
  
  [math] x_{1} = \frac {-b + \sqrt {b^2 – 4ac}} {2a} [/math]
  [math] x_{2} = \frac {-b - \sqrt {b^2 – 4ac}} {2a} [/math]
• Se
  [math] \Delta = 0 [/math]
  l’equazione avrà due soluzioni reali coincidenti, quindi una soluzione:
  
  [math] x_{1} = x_{2}= \frac {-b} {2a} [/math]
• Se
  [math] \Delta >0 [/math]
  l’equazione non avrà soluzione e risulterà impossibile.
  

Metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado pure

Ora concentriamoci sul metodo di risoluzione delle equazioni pure, quindi le equazioni di secondo grado che contengono due coefficienti.
La forma dell’equazione di secondo grado è la seguente:

La formula risolutiva è la seguente:

Se

e

sono discordi, quindi hanno segno opposto, l’equazione ammetterà due soluzioni reali e distinte.
Se

e

sono concordi , quindi hanno segno uguale, l’equazione non ammetterà soluzioni reali, quindi sarà impossibile.

Ovviamente, le equazioni di secondo grado spurie sono risolvibili anche con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete ; però se si riesce a riconoscere la tipologia di equazione di secondo grado, i calcoli si semplificano!

Metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado spurie

Ora concentriamoci sul metodo di risoluzione delle equazioni spurie, quindi le equazioni di secondo grado che contengono due coefficienti.
La forma dell’equazione di secondo grado è la seguente:

Per risolvere queste tipologie di equazioni di secondo grado, raccogliamo la

, così facendo si ottengono due soluzioni
La formula risolutiva è la seguente:

Ovviamente, le equazioni di secondo grado spurie sono risolvibili anche con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete ; però se si riesce a riconoscere la tipologia di equazione di secondo grado, i calcoli si semplificano!

Esempi applicativi

• Esempio su equazione di secondo grado completa
  Risolvere la seguente equazione:
  
  [math] x^2 – 3x +2 = 0 [/math]

  Svolgimento:
  

  [math] x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt \Delta} {2a} [/math]
  [math] \Delta = b^2 – 4ac [/math]

  Mettiamo i nostri dati:
  

  [math] \Delta = (-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 [/math]
  [math] \Delta = 9-8 = 1 [/math]
  [math] x_{1,2} = \frac {- (-3) \pm \sqrt 1} {2 \cdot 1} [/math]
  [math] x_{1} = \frac {3+1} {2} =2 [/math]
  [math] x_{1} = \frac {3-1} {2} =1 [/math]
• Esempio su equazione di secondo grado pura
  Risolvere la seguente equazione:
  
  [math] 2x^2 – 32 = 0 [/math]

  Svolgimento:
  

  [math] x_{1,2} = \pm \frac {-c} {a} [/math]
  Mettiamo i nostri dati:
  
  [math] x_{1,2} = \pm \frac {- (-32)} {2} [/math]
  [math] x_{1} = \frac {- (-32)} {2} =+4 [/math]
  [math] x_{2} = - \frac {- (-32)} {2} =-4 [/math]



• Esempio su equazione di secondo grado spuria
  Risolvere la seguente equazione:
  
  [math] 7x^2 – 2x = 0 [/math]

  Svolgimento:
  

  [math] x_{1} = 0 [/math]
  [math] x_{2} = \frac {-b} {a} [/math]
  Mettiamo i nostri dati:
  
  [math] x \cdot (7x – 2) = 0 [/math]
  [math] x_{1} = 0 [/math]
  [math] x_{2} = \frac {- (-2)} {7} = \frac {2}{7} [/math]