Determinante di una matrice

In questo appunto di algebra descriviamo la procedura per il calcolo del determinante di una matrice. La regola di calcolo sfrutta un metodo ricorsivo, perciò, esamineremo il caso più semplice della matrice di ordine due e poi vedremo quello di una matrice di ordine tre anche con la regola di Sarrus. Per la comprensione della definizione del determinante viene data anche quella di minore complementare e complemento algebrico appunto.

Determinante di una matrice

Il determinante è definito solo per matrici quadrate, cioè per matrici che hanno lo stesso numero di righe e colonne.

Il calcolo del determinante sfrutta un metodo ricorsivo: si definisce il determinante per matrici

(cioè costanti) e

, fatto questo si definisce il determinante di una matrice

come il determinante di una o più matrici

, e si applica tale regola fino a ricondursi a matrici di ordine

o a costanti.

Matrici

Il determinante di una matrice del primo ordine cioè di una costante, coincide con la costante stessa:

Matrici

Il determinante di una matrice del secondo ordine del tipo:

è dato dalla differenza tra il prodotto degli elementi sulla diagonale principale “ad” e quello degli elementi sulla diagonale secondaria “bc”:

Matrici

Diamo la formula generale per una matrice quadrata di ordine

, ma per fare questo occorrono due definizioni importanti alla comprensione dei successivi passaggi, quella del minore complementare e quella del complemento algebrico.

Definizione di minore complementare
Data una matrice

quadrata di ordine

, si definisce minore complementare dell'elemento di posto

, e si indica con

, come il determinante della matrice che si ottiene cancellando l'

-esima riga e la

-esima colonna.

Definizione di complemento algebrico
Data una matrice

di ordine

, si definisce complemento algebrico dell'elemento di posto

, e si indica con

, il prodotto:

dove

è il minore complementare ottenuto come alla definizione precedente.

Diamo ora la definizione generale valida per ogni ordine

:
Il determinante di una matrice quadrata di ordine

Sviluppando rispetto alla riga

-esima il determinante vale:

Sviluppando rispetto alla colonna

-esima il determinante vale:

In entrambi i casi con

si intende l'elemento di posto

della matrice

.

Per ulteriori approfondimenti sulle matrici vedi qua

Esempio di calcolo del determinante di una matrice

[math]3\times 3[/math]

. Calcoliamo il determinante di una matrice del terzo ordine, così vediamo come applicare la definizione.

Sviluppiamo lungo la prima colonna e abbiamo:

In cui:

Otteniamo quindi:

Il determinante di questa matrice è nullo. Questa matrice ha rango 2.
Per ulteriori approfondimenti sul rango di una matrice vedi qua

Proprietà del determinante di una matrice

Il determinante della matrice identità è

, qualunque sia l’ordine n della matrice.
Se

è una;

• matrice triangolare superiore, in cui tutti gli elementi sotto la diagonale principale sono nulli;
• matrice triangolare inferiore, in cui tutti gli elementi sopra la diagonale principale sono nulli;
• matrice diagonale, in cui tutti gli elementi sopra e sotto la diagonale principale sono nulli;

detti

gli elementi sulla diagonale, allora:

Se

e

sono due matrici quadrate dello stesso ordine, allora il determinate del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei loro determinanti, per il teorema di Binet:

Se

, e

è la matrice inversa di

, cioè tale che

, allora:

Se

è una matrice quadrata con (almeno) una riga e/o una colonna nulla, allora

.
Se due righe, o due colonne, sono una multipla dell'altra, allora

.
In generale se una riga (o una colonna) è data dalla combinazione lineare delle altre righe (o delle altre colonne), allora:

.
Il determinante di una matrice quadrata coincide col determinante della sua trasposta:

Se

è una matrice quadrata, e

è la matrice ottenuta moltiplicando una riga (o una colonna) di

per

, allora:

.
Se

è una matrice quadrata, e

è una matrice ottenuta da una riga (o una colonna) di

, un'altra riga (o colonna) eventualmente moltiplicata per

, allora

.
Se

è una matrice quadrata, e

è una matrice ottenuta scambiando di posto due righe, o due colonne, di

, allora:

.
Se

è una matrice quadrata di ordine

allora, per ogni

, vale:

Regola di Sarrus per calcolare il determinante

Il determinante di una matrice del terzo ordine può essere calcolato anche applicando il metodo di Sarrus. A partire da una matrice del tipo:

si riscrivono le prime due colonne a fianco della terza, ottenendo una matrice rettangolare:

Ora si eseguono i prodotti secondo le diagonali illustrate in figura, le nere verso destra e le rosse verso sinistra:

Alla somma dei termini ottenuti seguendo le diagonali nere, si sottrae quella ottenuta seguendo le diagonali rosse.

Per ulteriori approfondimenti sul determinante vedi anche qua