In questo appunto viene spiegato il significato di matrice inversa e viene proposto un metodo per calcolare tale matrice, viene inoltre proposto un esempio che aiuta a comprendere meglio tale esercizio.
Per capire meglio il significato della matrice inversa e il procedimento per ottenerla è prima necessario ripassare brevemente il significato di una matrice, il significato di matrice inversa e il procedimento per svolgere il prodotto tra matrici.
Indice
Matrice: che cos’è?
Data una funzione lineare è possibile associare ad essa una matrice.
La matrice viene rappresentata attraverso dei valori riportati in riga e in colonna all’interno di parentesi tonde; in seguito è riportato un esempio:
a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right)[/math]
La matrice riportata come esempio è composta da due righe (le righe vengono indicate con la lettera m) e da due colonne (le colonne vengono indicate con la lettera n); la matrice viene anche espressa come n x m quindi la matrice dell’esempio riportato sopra è una matrice 2 x 2.
Nel caso in cui il numero di righe sia uguale a quello delle colonne (n=m) si dice che la matrice è quadrata.
Un’altra matrice importante è la matrice identità, tale matrice è costituita da numeri 1 lungo la diagonale e da 0 in tutte le altre posizioni; in seguito riportiamo l’esempio di una matrice identità di dimensione 2 x 2:
0 & 1 \end{matrix} \right)[/math]
La matrice identità, generalmente indicata con la lettera maiuscola I, ha la proprietà che se moltiplicata con una matrice generica, genera una matrice identica a quella di partenza, perciò:
Data tale proprietà la matrice identità prende il nome di elemento neutro.
Determinante di una matrice:
Data una matrice
il determinante è quel numero che viene ottenuto moltiplicando il primo e il quarto elemento di matrice e sottraendo il prodotto del secondo per il terzo elemento.
Consideriamo la seguente matrice A di dimensione
:
c & d \end{matrix} \right)[/math]
Il determinante di tale matrice è:
Per ulteriori approfondimenti sul determinante di una matrice vedi anche qua.
Prodotto tra matrici:
Come prima cosa è necessario ricordare che, a differenza dei numeri, nel prodotto tra matrici l’ordine in cui vengono riportate le matrici è importante infatti in generale:
Si dice quindi che il prodotto non è commutativo cioè che cambiando l’ordine dei fattore il risultato cambia.
Il prodotto tra matrici viene eseguito attraverso il metodo del prodotto riga per colonna, è essenziale quindi che il numero di righe della prima matrice sia uguale al numero di colonne della seconda matrice.
La matrice risultante dal prodotto ha come primo elemento il prodotto della prima riga della matrice con la prima colonna della seconda matrice (gli elementi all’interno della colonna vengono moltiplicati e poi sommati tra loro), il secondo elemento è il risultato della prima riga della prima matrice con la seconda colonna della seconda matrice e così via.
Per comprendere meglio tale procedimento è riportato in seguito un esempio di prodotto tra due matrici 2 x 2:
c & d \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} e & f \\
g & h \end{matrix} \right)
=
\left( \begin{matrix} a \cdot e + b \cdot g & a \cdot f + b \cdot h\\
c \cdot e + d \cdot g & c \cdot f + d \cdot h \end{matrix} \right)[/math]
Matrice inversa
Se
è una matrice quadrata di ordine
.
Una matrice quadrata
Calcolo dell'inversa
Se
è una matrice quadrata, e
Dove:
di
coincide con il complemento algebrico dell'elemento di posto
di
, mentre l'apice
Esempio: calcolare l'inversa della matrice
Il determinante di
vale
I complementi algebrici degli elementi di
valgono
Quindi la matrice inversa è
Caso particolare: matrice
è una matrice quadrata di ordine
invertibile, cioè
con
la matrice inversa è
Come si vede in questo caso la matrice dei complementi algebrici trasposta si ottiene da
Per ulteriori approfondimenti sui complementi algebrici di una matrice vedi anche qua
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