Determinante di una matrice quadrata

Determinante di una matrice quadrata

Definizione

A ∈ Mn(K), det A =Xp∈Snsign p · a1p(1) · a2p(2) · · · anp(n)

Proprietà del determinante

1. det A = det tA
2. Se una matrice contiene una riga o colonna nulla, il suo determinante `e nullo.
3. Scambiando due righe (colonne) di una matrice il determinante cambia di
segno (trasformazione T1).
4. Se una matrice contiene due righe (colonne) uguali, il suo determinante `e
nullo.
5.Se si moltiplica una riga o una colonna di una matrice per uno scalare λ, il
determinante viene moltiplicato per λ (trasformazione T3).
6.Se una riga (colonna) `e combinazione lineare di altre righe (colonne), il
determinante della matrice `e nullo.
7. Una trasformazione di riga o di colonna di tipo T2 non cambia il
determinante.
8. det (A · B) = det A · det B (Teorema di Binet).

Calcolo del determinante

Il determinante di una matrice triangolare `e il prodotto degli elementi della sua diagonale principale.

Teorema di Laplace

det A= somma da i=1 a n (ahi+ Ahi) per ogni h ∈ {1, . . . , n}

Invertibilità e matrice inversa

Condizione di invertibilità di una matrice
A ∈ Mn(K) è invertibile se e solo se det A diverso da 0.

Calcolo dell'inversa

∀A ∈ GLn(K), A−1 = (det A)^−1· A#