Rango di una matrice

Indice

1. Rango di una matrice
2. Nomenclatura del determinante

Rango di una matrice

Per poter dare una definizione di "rango di una matrice", ma soprattutto per capire l'utilità che ha il determinarlo, dobbiamo fare più di un passo indietro.
Supponiamo di avere un sistema di 3 equazioni in tre incognite:

La seconda "matrice completa":

Calcoliamo il determinante della matrice incompleta, che chiameremo Di3.

Più avanti spiegheremo il perchè di questo particolare nome. Il calcolo del determinante di una matrice è un processo abbastanza lungo e complesso, e richiederebbe un appunto a parte. Ragion per cui nella presente trattazione daremo l'argomento per scontato.

Supponiamo dunque di conoscere già il valore di Di3.
Se Di3 è diverso da zero, diremo che il rango della matrice è pari a 3.

Se invece Di3 è uguale a zero, è possibile allora individuare una serie di sotto-matrici formate da due righe e due colonne all'interno della matrice di partenza. In una matrice 3x3, quale è la nostra, è possibile individuarne 9.

ecc.

Per ognuna di loro calcoleremo il determinante, che chiameremo Di2. Se anche uno solo di questi determinanti è diverso da zero, si arresta il problema, così come ci si arrestava se Di3 era già diverso da zero. Diremo dunque che la matrice ha rango 2. E così via.

Fatto questo esempio, è adesso possibile dare la definizione corretta di rango di una matrice, e soprattutto apparirà chiaro il suo significato:
"Il rango della matrice viene definito come il livello di ordine più alto di una matrice il cui determinante sia diverso da zero".

Sorge subito spontaneo chiedersi per quale motivo valga la pena di valutarlo.

Facendo sempre riferimento all'esempio precedente, calcoliamo adesso il determinante della matrice completa. Essendo una matrice 4x4, chiameremo il suo determinante Dc4, dove, come forse era già stato intuito, "c" sta per "completa" e "4" è il grado di quel determinante.

Se Dc4 è diverso da zero, diremo che il rango della matrice è pari a 4.

Se invece Dc4 è nullo, dobbiamo calcolare i vari Dc3 delle sottomatrici. Essendo la matrice di partenza una matrice 4x4, sarà possibile ricavare da essa 4 sottomatrici di tre righe e tre colonne. Se almeno uno dei quattro determinanti Dc3 è diverso da zero, possiamo fermarci. Il rango della matrice completa sarà pari a 3.

A questo punto possiamo comprendere l'importanza e la funzione del rango.
Se in un sistema di equazioni lineari a più incognite il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa, il sistema ha soluzione. Nel caso in cui invece i ranghi delle due matrici siano diversi, il sistema è impossibile.

Nomenclatura del determinante

Dall'esempio appena fatto, si capisce che Di3 viene chiamato così perchè determinante della matrice incompleta (i) formata da tre righe e tre colonne.
Allo stesso modo Di2 indica il determinante della matrice incompleta (i) formata da due righe e due colonne.
Il numero 3 e il numero 2 di questo esempio indicano il grado del determinante. Per cui potremo definire Di3 e Di2 nel seguente modo: "Di3" rappresenta il determinante del 3° ordine della matrice incompleta che stiamo esaminando e "Di2" il determinante del 2° ordine.