Rango di una matrice - Proprietà

Rango di una matrice

Definizione

Data una matrice A ∈ Mm×n(K), si dice rango o caratteristica di A (indicato con ρ(A)) il numero massimo di colonne linearmente indipendenti della matrice A.
Osservazione: ρ(A) = dim L(a1, . . . , an).
Proprietà
-ρ(A) = ρ(tA) (di conseguenza ρ(A) = dim L(a1, . . . , am) `e anche il numero massimo di righe linearmente indipendenti di A)
-ρ(A) ≤ min{m, n}
-se B `e una sottomatrice di A, allora il rango di B è minore di quello di A ρ(B) ≤ ρ(A)
-se m = n, allora ρ(A) = n se e solo se det A 6= 0 (di conseguenza una matrice
quadrata `e regolare se e solo se tutte le sue righe/colonne sono linearmente
indipendenti).
-se A `e una matrice ridotta a gradini o a scala, ρ(A) `e il numero di righe di A che non sono completamente nulle.
-le trasformazioni di riga o colonna di tipo T1,T2,T3 non cambiano il rango di
una matrice.

Definizioni

Chiamiamo minore di ordine h di A ∈ Mm×n(K) una qualunque sottomatrice M quadrata di ordine h di A (M `e quindi formata dagli elementi che si trovano “all’incrocio” di h righe e h colonne di A). Si dice (minore) orlato di un minore M di ordine h di A, ogni minore di ordine h + 1 di A che contiene M.
Osservazione: M(la sottomatrice) ha esattamente (m − h)(n − h) orlati.