TeM di TeM
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Definizione


Data una matrice
[math]M[/math]
con
[math]n[/math]
righe ed
[math]m[/math]
colonne a componenti reali, si definisce rango di
[math]M[/math]
(e lo si indica con
[math]rg(M)[/math]
) il massimo numero di vettori riga (o vettori colonna) linearmente indipendenti tra di loro (ossia che uno non si possa scrivere come somma degli altri moltiplicati per opportuni parametri reali).

Calcolo del rango di una matrice


Per calcolare il rango di una matrice ci sono essenzialmente due strade: la prima prevede l'applicazione del criterio dei minori, mentre la seconda consiste nell'applicare il metodo di eliminazione di Gauss.


Applicazione del metodo dei minori


In base alla definizione appena scritta, una matrice
[math]M[/math]
con
[math]n[/math]
righe ed
[math]m[/math]
colonne a componenti reali ha rango pari ad
[math]r[/math]
se:


i) esiste almeno un minore di ordine

[math]r\\[/math]
con determinante non nullo;

ii) tutti i minori di ordine

[math]r+1\\[/math]
(se esistono) hanno determinante nullo.


Osservazioni

i) Se esiste un minore di ordine

[math]h[/math]
con determinante non nullo, allora
[math]rg(M) \ge h\\[/math]
;

ii) se

[math]M[/math]
ha
[math]n[/math]
righe e
[math]m[/math]
colonne si ha sempre
[math]0 \le rg(M) \le \min\{m,\,n\}\\[/math]
;

iii) se

[math]rg(M) = 0[/math]
si tratta di una matrice nulla, mentre se
[math]rg(M) = \min\{m,\,n\}[/math]
si dice che
[math]M[/math]
ha rango massimo;


iv) se

[math]M[/math]
è quadrata di ordine
[math]n[/math]
allora
[math]rg(M) = n \; \Leftrightarrow \; \det(M) \ne 0\\[/math]
.


Esempio
Data la matrice

[math]M := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & h & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}[/math]
con
[math]h,\,k \in \mathbb{R}[/math]
, notando che
[math]\det(M) = h\,(k - 2)[/math]
, se
[math]h \ne 0 \, \land \, k \ne 2[/math]
allora
[math]rg(M) = 3[/math]
, altrimenti se
[math]h = 0 \, \vee \, k = 2[/math]
ne consegue che
[math]rg(M) = 2\\[/math]
.


Applicazione del metodo di eliminazione di Gauss


Il rango di una matrice non ridotta
[math]M[/math]
coincide con il numeri di pivot della matrice ridotta
[math]\tilde{M}\\[/math]
.


Metodo di eliminazione di Gauss

Attraverso l'applicazione di operazioni elementari dette mosse di Gauss (scambiando due righe oppure moltiplicando una riga per un numero non nullo oppure sommando una riga ad un multiplo di un'altra riga) riduce la matrice in una forma detta a scalini (la quale presenta tutti zeri al di sotto della diagonale principale). In una matrice siffatta, si definisce pivot il primo elemento non nullo di una riga (se esiste), procedendo da sinistra verso destra.


Esempio
Data la matrice

[math]M := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & h & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}[/math]
con
[math]h,\,k \in \mathbb{R}[/math]
, applicando la seconda e la terza mossa di Gauss, moltiplicando la terza riga per meno uno e sommandovi la prima riga, si ottiene la seguente matrice ridotta a scalini:
[math]\tilde{M} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & h & 1 \\ 0 & 0 & 2-k \end{pmatrix}[/math]
. Ebbene, osservando
[math]\tilde{M}[/math]
, si nota che se
[math]h \ne 0 \, \land \, k \ne 2[/math]
i pivot sono tre (tutte e tre le righe ne sono dotate) e quindi
[math]rg(M) = 3[/math]
, altrimenti se
[math]h = 0 \, \vee \, k = 2[/math]
i pivot sono solo due, quindi ne consegue che
[math]rg(M) = 2\\[/math]
.

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