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Studio di funzione con valore assoluto


In questo appunto affronteremo lo studio completo di una funzione che contiene un valore assoluto.
Ecco la funzione:

[math]f(x)= \frac{x^2-1}{|x-2|+3x}[/math]
Ora per la definizione di valore assoluto abbiamo:
[math]f_1(x)=\begin{cases}x \geq 2\\ y= \frac{x^2-1}{4x-2}\end{cases}[/math]

[math]f_2(x)=\begin{cases}x<2\\ y= \frac{x-1}{2}\end{cases}[/math]

Procediamo allora allo studio di
[math]f_1(x)[/math]
.

Ricordiamo quali sono i passi da fare per lo studio completo:
  • dominio
  • simmetrie
  • intersezione con gli assi
  • segno
  • limiti
  • derivate
  • grafico finale

  • Per il dominio di
    [math]f_1(x)[/math]
    :
    [math]\begin{cases}x \geq2 \\ x\neq \frac{1}{2} \end{cases}[/math]
    ovvero :
    [math]D=[2;+\infty)[/math]

    [math]f_1(x)[/math]
    è definita per ogni valore di x maggiore o uguale a 2.
    Il dominio non è simmetrico quindi la funzione non è né pari né dispari.
    Per trovare le intersezioni risolviamo i due sistemi seguenti:

    [math]1=\begin{cases}x = 0\\ y=f_1(x)\end{cases}[/math]

    [math]2=\begin{cases}y = 0\\ y=f_1(x) \end{cases}[/math]

    Gli eventuali punti trovati vanno riportati sul grafico.
    Studio del segno
    Essendo una funzione razionale fratta ne studiamo semplicemente il segno del numeratore e del denominatore e con il grafico otteniamo il segno finale.
    I limiti agli estremi del dominio ci diranno se la funzione presenta eventuali asintoti orizzontali oppure obliqui.
    Le derivate, prima e seconda, ci daranno informazioni su eventuali punti stazionari.

    Qui è presente lo svolgimento: https://drive.google.com/file/d/1oQyhhhgu2lnstDOjwMga21fMDWY3SRIR/view?usp=sharing
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