In questo appunto di matematica viene analizzato lo studio di funzione tramite un esempio.
Prima di procedere all’esempio applicativo verranno definiti i concetti fondamentali per lo studio della funzione, quali il dominio e il codominio. In seguito verranno descritte anche le proprietà fondamentali della funzione, che a volte saperle significa semplificare i calcoli.
Indice
Che cos’è una funzione?
Una funzione matematica è una relazione tra due insieme
Questa relazione si indica con:
Dove
dipende da
, in questo modo
e
.
è la variabile indipendente, mentre
è variabile dipendete rispetto a
.
Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni vedi anche qua
Classificazione delle funzioni matematiche
Le funzioni si possono classificare in due macrogruppi:
- Funzioni algebriche;
- Funzioni trascendenti ;
A loro volta le funzioni algebriche si suddividono in:
- Funzioni algebriche razionali intere;
- Funzioni algebriche razionali fratte;
- Funzioni algebriche irrazionali intere;
- Funzioni algebriche irrazionali fratte;
Così come le funzioni algebriche, anche le trascendenti si suddividono in:
- Funzioni trascendenti trigonometriche;
- Funzioni trascendenti logaritmiche;
- Funzioni trascendenti esponenziali;
Dominio di una funzione
Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti i possibili valori reali che si possono assegnare alla
in modo da ottenere un dato valore di
secondo la relazione:
Il dominio viene chiamato anche campo di esistenza, esso contiene tutte le condizioni di esistenza della
.
Il dominio di una funzione si indica con
.
Codominio di una funzione
Ricordando la definizione di funzione: una funzione matematica è una relazione tra due insieme
e
, chiamati anche dominio e codominio , che associa a ogni elemento del dominio
, uno e un solo elemento del codominio
.
Quindi il codominio è l’insieme formato dalle immagini di
Immagine e controimmagine della funzione
L’immagine di una funzione è l’insieme dei valori assunti dalla funzione nel suo dominio.Quindi è contenuta nell’insieme di arrivo della funzione, che è il suo codominio.
Di conseguenza, sarà ovvio che l’insieme delle controimmagini è il dominio della relazione stessa.
Proprietà delle funzioni
Le principali proprietà delle funzioni sono:
- Funzione iniettiva
- Funzione suriettiva
- Funzione biunivoca
- Funzione inversa
- Funzione pari
- Funzione dispari
Una funzione è iniettiva se ogni elemento di
è l’immagine al massimo di un elemento di
; in altre parole, quando un elemento del dominio è associato ad un solo elemento del codominio.
Una funzione è suriettiva se ogni elemento di
è l’immagine al massimo di un elemento di
; in altre parole, quando un elemento del dominio è associato ad un solo elemento del codominio.
Una funzione è biunivoca se ogni elemento di
è raggiunto da un solo elemento di
; in altre parole, una funzione è biunivoca o biettiva quando è contemporaneamente sia iniettiva che suriettiva.
La funzione inversa esiste solo per le funzioni biunivoche, ed è quella per cui ogni elemento del dominio è raggiunto da un solo elemento del condominio.
Una funzione che possiede la sua inversa viene chiamata invertibile.
Una funzione è pari se è simmetrica rispetto all’asse delle
.
Vale la seguente relazione:
.
Una funzione è dispari se è simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Vale la seguente relazione:
.
Segno di una funzione
Data la funzione
dobbiamo studiarne il segno, cioè individuare per quali intervalli del dominio il grafico della funzione si trova sopra l’asse
e per quali valori sotto l’asse
.
Infatti, a seconda dei valori di
potrà risultare positiva o negativa.
Per trovare il segno il segno della funzione, è necessario risolvere la disequazione
.
Il grafico della funzione sarà nel semipiano positivo delle
per quei valori che verificano la disequazione. Quindi la funzione è positiva.
Al contrario, il grafico della funzione si troverà nel semipiano negativo delle
, per quei valori che non verificano la disequazione e la funzione sarà negativa.
Esempio di studio di funzione con valore assoluto
La funzione è la seguente:
Ora per la definizione di valore assoluto abbiamo:
Procediamo allora allo studio di
.
Ricordiamo quali sono i passi da fare per lo studio completo:
- dominio
- simmetrie
- intersezione con gli assi
- segno
- limiti
- derivate
- grafico finale
Per il dominio di
:
ovvero :
è definita per ogni valore di x maggiore o uguale a 2.
Il dominio non è simmetrico quindi la funzione non è né pari né dispari.
Per trovare le intersezioni risolviamo i due sistemi seguenti:
Gli eventuali punti trovati vanno riportati sul grafico.
Studio del segno
Essendo una funzione razionale fratta ne studiamo semplicemente il segno del numeratore e del denominatore e con il grafico otteniamo il segno finale.
I limiti agli estremi del dominio ci diranno se la funzione presenta eventuali asintoti orizzontali oppure obliqui.
Le derivate, prima e seconda, ci daranno informazioni su eventuali punti stazionari.
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