In questo appunto di matematica viene analizzato lo studio di funzione tramite un esempio.
Prima di procedere all’esempio applicativo verranno definiti i concetti fondamentali per lo studio della funzione, quali il dominio e il codominio. In seguito verranno descritte anche le proprietà fondamentali della funzione, che a volte saperle significa semplificare i calcoli.
Indice
Che cos’è una funzione?
Una funzione matematica è una relazione tra due insieme[math]A[/math]
e [math]B[/math]
, chiamati anche dominio e codominio , che associa a ogni elemento del dominio [math]A[/math]
, uno e un solo elemento del codominio [math]B[/math]
.
Questa relazione si indica con:[math] f:A \rightarrow B [/math]
[math]f[/math]
dipende da [math]x[/math]
, in questo modo [math] f(x)[/math]
e [math]x \in \Re[/math]
.[math]x[/math]
è la variabile indipendente, mentre [math]y[/math]
è variabile dipendete rispetto a [math]x[/math]
.Per ulteriori approfondimenti sulle funzioni vedi anche qua
Classificazione delle funzioni matematiche
Le funzioni si possono classificare in due macrogruppi:- Funzioni algebriche;
- Funzioni trascendenti ;
A loro volta le funzioni algebriche si suddividono in:
- Funzioni algebriche razionali intere;
- Funzioni algebriche razionali fratte;
- Funzioni algebriche irrazionali intere;
- Funzioni algebriche irrazionali fratte;
Così come le funzioni algebriche, anche le trascendenti si suddividono in:
- Funzioni trascendenti trigonometriche;
- Funzioni trascendenti logaritmiche;
- Funzioni trascendenti esponenziali;
Dominio di una funzione
Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti i possibili valori reali che si possono assegnare alla[math]x[/math]
in modo da ottenere un dato valore di [math]y[/math]
secondo la relazione:[math]y = f(x) [/math]
Il dominio viene chiamato anche campo di esistenza, esso contiene tutte le condizioni di esistenza della
[math]x[/math]
.Il dominio di una funzione si indica con
[math]Dom(f) [/math]
.
Codominio di una funzione
Ricordando la definizione di funzione: una funzione matematica è una relazione tra due insieme[math]A[/math]
e [math]B[/math]
, chiamati anche dominio e codominio , che associa a ogni elemento del dominio [math]A[/math]
, uno e un solo elemento del codominio [math]B[/math]
.Quindi il codominio è l’insieme formato dalle immagini di
[math]A[/math]
.
Immagine e controimmagine della funzione
L’immagine di una funzione è l’insieme dei valori assunti dalla funzione nel suo dominio. Quindi è contenuta nell’insieme di arrivo della funzione, che è il suo codominio.Di conseguenza, sarà ovvio che l’insieme delle controimmagini è il dominio della relazione stessa.
Proprietà delle funzioni
Le principali proprietà delle funzioni sono:- Funzione iniettiva
- Funzione suriettiva
- Funzione biunivoca
- Funzione inversa
- Funzione pari
- Funzione dispari
Una funzione è iniettiva se ogni elemento di
[math]B[/math]
è l’immagine al massimo di un elemento di [math]A[/math]
; in altre parole, quando un elemento del dominio è associato ad un solo elemento del codominio.Una funzione è suriettiva se ogni elemento di
[math]B[/math]
è l’immagine al massimo di un elemento di [math]A[/math]
; in altre parole, quando un elemento del dominio è associato ad un solo elemento del codominio.Una funzione è biunivoca se ogni elemento di
[math]B[/math]
è raggiunto da un solo elemento di [math]A[/math]
; in altre parole, una funzione è biunivoca o biettiva quando è contemporaneamente sia iniettiva che suriettiva.La funzione inversa esiste solo per le funzioni biunivoche, ed è quella per cui ogni elemento del dominio è raggiunto da un solo elemento del condominio.
Una funzione che possiede la sua inversa viene chiamata invertibile.
Una funzione è pari se è simmetrica rispetto all’asse delle
[math]y[/math]
.Vale la seguente relazione:
[math] f(x) = f(-x) [/math]
.Una funzione è dispari se è simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Vale la seguente relazione:
[math] f(x) = -f(-x) [/math]
.
Segno di una funzione
Data la funzione[math]y = f(x) [/math]
dobbiamo studiarne il segno, cioè individuare per quali intervalli del dominio il grafico della funzione si trova sopra l’asse [math]x[/math]
e per quali valori sotto l’asse [math]x[/math]
.Infatti, a seconda dei valori di
[math]x, y[/math]
potrà risultare positiva o negativa.Per trovare il segno il segno della funzione, è necessario risolvere la disequazione
[math]f(x) \geq 0[/math]
. Il grafico della funzione sarà nel semipiano positivo delle
[math]y[/math]
per quei valori che verificano la disequazione. Quindi la funzione è positiva.Al contrario, il grafico della funzione si troverà nel semipiano negativo delle
[math]y[/math]
, per quei valori che non verificano la disequazione e la funzione sarà negativa.
Esempio di studio di funzione con valore assoluto
La funzione è la seguente:
[math]f(x)= \frac{x^2-1}{|x-2|+3x}[/math]
[math]f_1(x)=\begin{cases}x \geq 2\\ y= \frac{x^2-1}{4x-2}\end{cases}[/math]
[math]f_2(x)=\begin{cases}x>2\\ y= \frac{x-1}{2}\end{cases}[/math]
Procediamo allora allo studio di
[math]f_1(x)[/math]
.Ricordiamo quali sono i passi da fare per lo studio completo:
- dominio
- simmetrie
- intersezione con gli assi
- segno
- limiti
- derivate
- grafico finale
Per il dominio di
[math]f_1(x)[/math]
:[math]\begin{cases}x \geq2 \\ x\neq \frac{1}{2} \end{cases}[/math]
ovvero :[math]D=[2;+\infty)[/math]
[math]f_1(x)[/math]
è definita per ogni valore di x maggiore o uguale a 2.Il dominio non è simmetrico quindi la funzione non è né pari né dispari.
Per trovare le intersezioni risolviamo i due sistemi seguenti:
[math]1=\begin{cases}x = 0\\ y=f_1(x)\end{cases}[/math]
[math]2=\begin{cases}y = 0\\ y=f_1(x) \end{cases}[/math]
Gli eventuali punti trovati vanno riportati sul grafico.
Studio del segno
Essendo una funzione razionale fratta ne studiamo semplicemente il segno del numeratore e del denominatore e con il grafico otteniamo il segno finale.
I limiti agli estremi del dominio ci diranno se la funzione presenta eventuali asintoti orizzontali oppure obliqui.
Le derivate, prima e seconda, ci daranno informazioni su eventuali punti stazionari.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
