Precedenti di quadrati di un numero dispari - Dimostrazioni varie
Oggi andremo a dimostrare le seguenti tesi:
- Dato un numero intero dispari [math]N[/math], dimostrare che il precedente di[math]N^2[/math]è pari;
- Dimostrare che il precedente di [math]N^2[/math]con[math]N[/math]dispari è sempre divisibile per 8.
(1)Sia
[math]N[/math]
un numero intero dispari. Allora abbiamo da dimostrare che [math]N^2 - 1[/math]
è sempre divisibile per 2.[math]N^2 - 1[/math]
è scomponibile come differenza di quadrati, quindi avremo:[math](N - 1)(N + 1)[/math]
Siccome per ipotesi [math]N ≡ 1 (mod2)[/math]
, [math]N-1 ≡ 0 (mod2)[/math]
, e [math]N + 1 ≡ 0 (mod 2)[/math]
.Allora
[math]N^2 -1 ≡ 0 * 0 (mod 2)[/math]
, e si ha la tesi.(2)Sia
[math]N[/math]
un numero intero dispari, allora possiamo esprimere [math]N[/math]
come [math]2k + 1[/math]
Sviluppando i prodotti: [math](2k + 1)^2 = 4k^2 + 1 + 4k[/math]
.Dato che si tratta di
[math]N^2-1[/math]
, allora [math]N^2-1 = 4k ^ 2 + 4k[/math]
Considero il polinomio [math]4k^2 + 4k[/math]
ottenuto.Effettuo un raccoglimento totale ottenendo:
[math]4k(k+1)[/math]
Siccome [math]4 ≡ 4 (mod 8)[/math]
, se a k si sostituisce un valore pari, automaticamente [math]4k(k+1) ≡ 0 (mod 8)[/math]
.Se a k sostituisco un valore dispari, allora
[math]4k ≡ 4 (mod 8)[/math]
, ma per qualsiasi valore dispari
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