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Precedenti di quadrati di un numero dispari - Dimostrazioni varie


Oggi andremo a dimostrare le seguenti tesi:
  • Dato un numero intero dispari
    [math]N[/math]
    , dimostrare che il precedente di
    [math]N^2[/math]
    è pari;
  • Dimostrare che il precedente di
    [math]N^2[/math]
    con
    [math]N[/math]
    dispari è sempre divisibile per 8.
Dimostriamo le due tesi con l'algebra modulare.
(1)Sia
[math]N[/math]
un numero intero dispari. Allora abbiamo da dimostrare che
[math]N^2 - 1[/math]
è sempre divisibile per 2.
[math]N^2 - 1[/math]
è scomponibile come differenza di quadrati, quindi avremo:
[math](N - 1)(N + 1)[/math]
Siccome per ipotesi
[math]N ≡ 1 (mod2)[/math]
,
[math]N-1 ≡ 0 (mod2)[/math]
, e
[math]N + 1 ≡ 0 (mod 2)[/math]
.
Allora
[math]N^2 -1 ≡ 0 * 0 (mod 2)[/math]
, e si ha la tesi.
(2)Sia
[math]N[/math]
un numero intero dispari, allora possiamo esprimere
[math]N[/math]
come
[math]2k + 1[/math]
Sviluppando i prodotti:
[math](2k + 1)^2 = 4k^2 + 1 + 4k[/math]
.
Dato che si tratta di
[math]N^2-1[/math]
, allora
[math]N^2-1 = 4k ^ 2 + 4k[/math]
Considero il polinomio
[math]4k^2 + 4k[/math]
ottenuto.
Effettuo un raccoglimento totale ottenendo:
[math]4k(k+1)[/math]
Siccome
[math]4 ≡ 4 (mod 8)[/math]
, se a k si sostituisce un valore pari, automaticamente
[math]4k(k+1) ≡ 0 (mod 8)[/math]
.
Se a k sostituisco un valore dispari, allora
[math]4k ≡ 4 (mod 8)[/math]
, ma per qualsiasi valore dispari < 8 che sostituisco a k+1, l'espressione risulta comunque divisibile per 8, per cui si ha la tesi.
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