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Criterio di Divisibilità per 11 - Dimostrazione

Enunciato
Un numero intero N è divisibile per 11 se e solo se la differenza tra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari in valore assoluto è uguale a 0 o ad un multiplo di 11.
Esempio
7568 -> | (7 + 6) - (5 + 8) | = |13 - 13| = 0. Allora 11 / N (si legge 11 divide N) 8462 -> |(8+6) - (4+2)| = |14 - 6| = 8. Allora 11 non divide N.
Adesso, proviamo a dimostrare il criterio di divisibilità per 11!
Dimostrazione Criterio di Divisibilità per 11.
Sia N un numero intero che è composto da k cifre decimali. Siccome il nostro sistema di numerazione è posizionale, allora possiamo scrivere:
N = a0100 + a1100 + a2102 + ... + ak10k
Consideriamo le congruenze modulo 11 di tutte le potenze di 10.
[math]10^0 ≡ 1 (mod 11)[/math]

[math]10^1 ≡ 10 ≡ -1(mod 11)[/math]

[math]10^2 ≡ 1 (mod 11)[/math]

...
[math]10^x ≡ 1 (mod 11)[/math]
se e solo se
[math]x ≡ 0 (mod 2)[/math]

[math]10^x ≡ -1 (mod 11)[/math]
se e solo se
[math]x ≡ 1 (mod 2)[/math]

Allora di N si può dire che:
N ≡ a0 - a1 + a2 - a3 + ... (mod 11)
Ne segue che N ≡ |(a0+a2+a4 + ...) - (a1 + a3 + a5 + ...)| (mod 11)
Perciò, se quella differenza è pari a 0 o a qualsiasi altro multiplo di 11, N sarà divisibile per 11.
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