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I PUNTI DI ACCUMULAZIONE

Un punto è detto punto di accumulazione di un insieme se un qualunque suo intorno contiene sempre almeno un punto dello stesso insieme che sia diverso da esso.

Preso un insieme

[math]A[/math]
, sottoinsieme proprio di
[math]ℝ\ (A\subsetℝ)[/math]
con
[math]x_0\inℝ[/math]
, si definisce intorno di
[math]x_0[/math]
con raggio
[math]\delta[/math]
(delta)
l'insieme delle
[math]x[/math]
tali che
[math]x_0 - \delta < x < x_0 + \delta[/math]


[math]x_0[/math]
è un punto scelto a piacere;
[math]\delta>0[/math]
è un numero positivo. Quindi, maggiore è
[math]\delta[/math]
, maggiore è l'intorno di
[math]x_0[/math]
. Il Diametro dell'intorno è uguale a
[math]2\delta[/math]
. L'intorno destro (a destra di
[math]x_0[/math]
) è l'insieme dei punti
[math]x[/math]
per cui
[math]x_0 < x < x_0 + \delta[/math]
. L'intorno sinistro (a sinistra di
[math]x_0[/math]
) è l'insieme dei punti
[math]x[/math]
per cui
[math]x_0 - \delta < x < x_0[/math]


[math]x_0[/math]
si dice punto di accumulazione per l'insieme
[math]A[/math]
se ogni intorno di
[math]x_0[/math]
contiene infiniti punti di
[math]A[/math]
.
Infatti, se per definizione ho un punto di accumulazione e quindi in un suo intorno qualsiasi cade almeno un altro punto dell'insieme, allora ne cadono infiniti.


Inoltre, un punto di accumulazione per un insieme può non appartenere all'insieme.

Se per esempio

[math]A[/math]
è un insieme tale che
[math]x : x = \frac{1}{m}[/math]
,
[math]m\in N - (0)[/math]
, all'aumentare di
[math]m[/math]
,
[math]x[/math]
diminuisce e si avvicina allo
[math]0[/math]
senza mai arrivarci. In questo caso quindi,
[math]0[/math]
è il punto di accumulazione, anche se non appartiene all'insieme, perchè intorno a
[math]0[/math]
, qualunque sia
[math]\delta[/math]
, c'è sempre almeno un elemento dell'insieme
[math]A[/math]
, e più ci si avvicina a
[math]0[/math]
più la distanza tra i punti diminuisce.


Se un insieme infinito di punti è limitato, esso ammette sempre un punto di accumulazione.

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