Punto di accumulazione

In questo appunto di analisi matematica si definisce il concetto di punto di accumulazione per un insieme numerico. Si tratta di particolari punti che possono anche non appartenere all'insieme considerato. La loro definizione è importante anche per capire il concetto di limite perché quando una funzione non è definita in un punto si studia il suo comportamento quando la variabile indipendente si avvicina a tale punto. Il concetto di “avvicinarsi” è strettamente legato al punto di accumulazione.

Concetti introduttivi

La prima cosa fondamentale è che per capire cosa sono i punti di accumulazione noi dobbiamo per forza lavorare dentro cioè lavoriamo con i numeri reali e con un insieme infinito di numeri. Questo non vuol dire che dobbiamo andare fino all’infinito vuol dire che dobbiamo considerare un qualsiasi sottoinsieme A di che non sia numerabile. I punti di accumulazione per un insieme A sono tutti quei punti che hanno vicino, almeno un punto di A.
Cosa significa questa affermazione?
Scegliamo il nostro punto da verificare e immaginiamo di allontanarci da esso andando verso destra e poi anche verso sinistra. Ora guardiamo indietro e controlliamo se ci sono altri punti dell'insieme A. Se li vediamo allora questo punto è di accumulazione, se dietro di noi non ci sono altri punti dell'insieme A allora non lo è.
Per ulteriori approfondimenti sugli insiemi numerici vedi qua

Punti di accumulazione interni all’insieme

Scegliamo come insieme A l'intervallo aperto (0; 10) di estremi zero e dieci.

È un sottoinsieme di

?
Si.
Siamo sicuri?
Si, perché contiene al suo interno infiniti numeri.
Tra 0 e 10 ci sono infiniti numeri reali. Non lasciamoci ingannare quando individuiamo il nostro intervallo sulla retta, perché segnando solo gli estremi, ci viene da pensare ai numeri 1, 2, 3, 4, 5 eccetera…
Non stiamo ragionando nell’insieme dei numeri naturali quelli di

, ma in che include . Tra lo zero e il 10 ci sono tutti i numeri con la virgola:

Ma tra 0 e 0,1?

e così all’

….

Prendiamo il punto 5.

È vero che a qualsiasi distanza da 5 c’è un numero dell’insieme?
Certo che si!!
A qualsiasi distanza ci mettiamo troviamo infiniti punti di A.
E se cambio punto?
Scelgo ad esempio 1,2.

È vero che a qualsiasi distanza da 1,2 io trovo almeno un punto di A?
La risposta è ancora una volta si
Quindi, 1,2 e 5 sono entrambi punti di accumulazione per l’intervallo aperto di estremi 0 e 10.
Per ulteriori approfondimenti sui numeri decimali vedi qua

Punto di accumulazione destro e sinistro

Posizioniamoci ora sull’estremo inferiore dell’intervallo ovvero sullo zero. Se scegliamo un intorno qualsiasi dello zero ancora una volta troviamo dei punti che cadono in A.

Cosa notiamo di diverso rispetto al caso precedente?
I punti sono solo alla destra di zero ma sono comunque interni ad A.
Diremo in questo caso che zero è un punto di accumulazione sinistro per l’insieme A perché in ogni intorno destro dello zero troviamo almeno un punto di A distinto dallo zero.
Se ci posizioniamo nell’estremo superiore dell’intervallo ovvero nel punto 10 possiamo ripetere lo stesso ragionamento ovvero a destra di 10 non ci sono punti di A ma alla sinistra di 10, a qualunque distanza da esso ci posizioniamo troviamo sempre qualche punto dell'insieme.

Diremo in questo caso che 10 è un punto di accumulazione a destra per l'insieme perché in ogni intorno sinistro cade almeno un punto di A distinto da 10.
Cosa accade se ci posizioniamo al di fuori dell’intervallo ad esempio sul numero 11?

Se la dimensione dell'intorno è molto molto piccola, ovvero se ci posizioniamo troppo vicini al numero 11 non troviamo alcun elemento dell'insieme A. Il punto 11 non è di accumulazione per l’insieme considerato.
La definizione di punto di accumulazione deve essere valida qualunque sia la dimensione

[math]\delta[/math]

scelta per l’intorno. Nel nostro esempio basta aumentare la dimensione per ricadere all’interno dell’insieme A e quindi agganciarne alcuni suoi elementi. La definizione deve essere valida qualunque sia la dimensione scelta piccola a piacere, ecco perché bisogna sceglierlo molto vicino al punto considerato.
Nei paragrafi successivi diamo le definizioni rigorose utilizzando la simbologia matematica adeguata.
Per ulteriori definizioni sugli intorni vedi qua

Definizione di punto di accumulazione per un insieme

Un punto è detto punto di accumulazione di un insieme se un qualunque suo intorno contiene sempre almeno un punto dello stesso insieme che sia diverso da esso.
Preso un insieme , sottoinsieme proprio di con , si definisce intorno di

[math]x_0[/math]

con raggio

[math]\delta[/math]

(delta) l'insieme delle tali che:

• [math]x_0[/math]
  è un punto scelto a piacere
• [math]\delta>0[/math]
  è un numero positivo

Quindi, maggiore è , maggiore è l'intorno di .

Il Diametro dell'intorno o ampiezza dell’intervallo, è uguale a

.

L'intorno destro (a destra di

) è l'insieme dei punti dell’insieme per i quali:

L'intorno sinistro (a sinistra di

) è l'insieme dei punti per i quali si verifica:

Il punto

si dice punto di accumulazione per l'insieme

[math]A[/math]

se ogni intorno di

[math]x_0[/math]

contiene infiniti punti di

[math]A[/math]

Infatti, se per definizione ho un punto di accumulazione e quindi in un suo intorno qualsiasi cade almeno un altro punto dell'insieme, allora ne cadono infiniti.
Inoltre, un punto di accumulazione per un insieme può non appartenere ad esso. Abbiamo visto sopra, nell’esempio relativo all’intervallo (0;10), i suoi estremi sono punti di accumulazione rispettIvamente a destra e a sinistra, pur non appartenendo all’insieme che è un intervallo aperto.
Tutte queste defiizioni tornano utili quando bisogna calcolare il limite destro e sinistro di una funzione.
Per ulteriori approfondimenti sul calcolo dei limiti vedi qua

Esempio numerico svolto

Sia un sottoinsieme di formato dagli elenti per i quali sia costruita la successione:

All'aumentare di

, diminuisce sempre di più e si avvicina allo senza mai arrivarci. In questo caso quindi, è il punto di accumulazione, anche se non appartiene all'insieme, perchè intorno a , qualunque sia , c'è sempre almeno un elemento dell'insieme , e più ci si avvicina a più la distanza tra i punti diminuisce.