Asintoto: significato e definizione matematica

In quest'appunto troverai informazioni utili alla comprensione del concetto di asintoto, alla sua definizione rigorosa in termini matematici e alla sua classificazione.

Cos'è un asintoto e perché è utile in matematica

La ricerca degli asintoti è uno step fondamentale dello studio di una funzione. Studiare una funzione significa compiere una serie di passaggi analitici - come la definizione del dominio, della concavità e dei flessi - finalizzati alla realizzazione di una rappresentazione grafica della funzione.

La ricerca di massimi, minimi e flessi aiuta a definire il comportamento della curva nella zona "centrale" del grafico: ma cosa accade alle estremità?
Uno dei passaggi più importanti dello studio di funzione è proprio l'analisi dell'andamento della curve per

e per , ossia in che modo la funzione si avvicina allo zero e procede all'infinito. Definire gli asintoti serve proprio a disegnare correttamente la funzione in queste determinate zone del grafico.

Prima di chiarire matematicamente cosa sia un asintoto, è opportuno comprendere bene il concetto. Un asintoto non è altro che una curva che si avvicina sempre di più alla funzione senza intersecarla mai. Quando la distanza tra funzione e curva diventa molto piccola, la prima può essere approssimata alla seconda. In quest'ultimo frangente, quindi, disegnare l'asintoto permette di disegnare anche la funzione.

Definizione matematica rigorosa dei diversi tipi di asintoto

Per descrivere analiticamente un asintoto bisogna ricorrere ai limiti, i quali consentono di tradurre in termini matematici il concetto di "avvicinamento indefinito".
Ricordiamo che, in generale, un limite permette di descrivere in che modo una funzione si avvicini - da destra o da sinistra - a un determinato punto, studiandone l'intorno.
In particolare:

• [math]\lim_{x\to 0_+} f(x) [/math]
  consente di capire come la funzione si avvicina all'origine da destra verso sinistra (limite destro)
• [math]\lim_{x\to 0_-} f(x)[/math]
  permette invece di calcolare il limite sinistro, cioè come la funzione si avvicina all'origine da sinistra verso destra

Dopo questa breve ricapitolazione sui limiti, introduciamo le varie tipologie di asintoto con annessa definizione rigorosa. In matematica è possibile definire tre tipi di asintoti:

• l'asintoto verticale
• l'asintoto orizzontale
• l'asintoto obliquo

Definizione rigorosa di asintoto verticale

Un asintoto verticale è una retta del tipo , cioè parallela all'asse delle ordinate.
In termini matematici, esso può essere definito come:
e .
Lo studio del limite per che tende ad e permette di sapere in che modo la funzione si avvicina alla retta rispettivamente da destra e da sinistra.
In particolare:

• se il risultato del limite è
  [math]+\infty[/math]
  , l'asintoto si dice ascendente. Ciò significa che la funzione si avvicinerà alla retta, da destra (
  [math]0_+[/math]
  )o da sinistra (
  [math]0_-[/math]
  ), puntando indefinitamente in "alto", cioè a
  [math]+\infty[/math]
• se il risultato del limite è
  [math]-\infty[/math]
  , siamo in presenza di un asintoto discendente e quindi la funzione si avvicinerà alla retta puntando indefinitamente verso il basso

Definizione rigorosa di asintoto orizzontale

Un asintoto orizzontale è invece una retta del tipo , cioè parallela all'asse delle ascisse. L'asintoto è presente quando: .

In questo caso la funzione, avvicinandosi alla retta da destra verso sinistra (

), si avvicinerà al valore senza però raggiungerlo mai (asintoto e funzione non possono avere un punto di intersezione). Nel caso di , invece, la funzione si avvicina all'asintoto procedendo da sinistra verso destra, avvicinandosi a al crescere di x.

Definizione rigorosa di asintoto obliquo

Un asintoto obliquo è una retta generica di equazione , a cui la funzione si avvicina (procedendo da destra verso sinistra o da sinistra verso destra) senza intersecarla mai. Questo tipo di asintoto è presente se:

Per capire se la retta

sia asintoto obliquo della funzione quando è possibile verificare una condizione necessaria e sufficiente. Se, infatti, i limiti

• [math]\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=m[/math]
  e
  [math]\lim_{x\to +\infty} f(x)-mx=q[/math]

esistono e sono finiti (cioè tendono a un valore non infinito), l'asintoto obliquo esiste. Questa condizione vale anche per il limite , basta sostituire a in tutti i limiti presenti.

Per ulteriori approfondimenti sugli asintoti vedi anche qua