Limiti per trovare l'asintoto obliquo di una funzione algebrica

Limiti per trovare l'asintoto obliquo di una funzione algebrica

In questo appunto di matematica con applicazione numerica, descriviamo la procedura per determinare un eventuale asintoto obliquo per una funzione razionale fratta. Sia la funzione del tipo seguente:



Come prima cosa dobbiamo determinare il dominio di questa funzione. Il denominatore è un binomio di primo grado che è definito per ogni valore di x reale tranne -1. Questa funzione ha un punto di discontinuità nel suo dominio dove sicuramente esiste un asintoto verticale di equazione . Effettuando i limiti agli estremi del dominio cioè a e a , dato che il polinomio al numeratore è di grado superiore a quello del denominatore questi limiti sono entrambi infiniti quindi non c'è asintoto orizzontale. Verifichiamo ora se la funzione presenta un asintoto obliquo. In caso affermativo dobbiamo determinare l’equazione di una retta che nel piano cartesiano, messa in forma esplicita è del tipo:



In cui il parametro m, ricordiamo è il coefficiente angolare ovvero la tangente dell'angolo che la nostra retta forma con la direzione positiva dell'asse delle ascisse pertanto se si tratta di un valore positivo vuol dire che la nostra retta intercetta primo e terzo quadrante e l'angolo formato tra la retta e la direzione positiva dell'asse è un angolo acuto quindi minore di 90°. Se m è negativo vuol dire che l’angolo è ottuso e la retta intercetta secondo e quarto quadrante. Il parametro q detto ordinata all'origine è l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate. Se il valore di q è positivo significa che la retta taglia l'asse delle ordinate dalla parte dei valori positivi altrimenti l’intersezione avviene nella parte dei valori negativi. Per trovare il valore di m e di q dobbiamo risolvere due limiti.
Troveremo in questo caso il valore di m come:




E il valore di q come:



Essendo i due limiti entrambi finiti, possiamo scrivere l'equazione della retta asintotica.



L’appunto contiene in allegato lo svolgimento dei limiti.