Video appunto: Asintoti, studio di funzione e punti di non derivabilità

Asintoti



verticali: selim┬(x→x_0 ) f(x)=±∞⇒ x=x0 è asintoto verticale;
orizzontali: se lim┬(x→±∞) f(x)=l⇒ y=l è asintoto orizzontale;
obliqui: N.B. gli asintoti obliqui vanno ricercati solamente se non vi sono asintoti orizzontali.
y=mx+q⇒m=lim┬(x→±∞) ((f(x))/x)q=lim┬(x→±∞) (f(x)-mx).

Studio di funzione:
Dominio;
Segno, zeri;
Simmetrie;
Limiti;
Punti di non derivabilità;
Derivata prima;
Punti stazionari;
f’(x)>0.
f'(x_0)=lim┬(h→0) ((f(x_0+h)-f(x_0))/h)=m(x_0)=tgα
Punti di non derivabilità:
punto angoloso: derivata destra≠derivate sinistra e almeno una delle due finita;
cuspide: derivata destra=+∞, derivata destra=-∞ o viceversa;
flesso a tangente verticale: derivata destra=+∞, derivata destra=+∞ o derivata destra=-∞, derivata destra=-∞.
Per lo più se una funzione è continua può essere derivabile, se non è continua non è derivabile e se derivabile è continua.
Quindi una funzione non è derivabile dove non è continua e nei punti di non derivabilità che vanno cercati dove la funzione è continua ma cambia.
Se perciò viene chiesto se una funzione è derivabile in un punto è necessario accertarsi che la funzione sia continua in quel punto e calcolare la derivata destra e sinistra.
Derivate fondamentali:
y=k→y’=0;
y=x→y’=1;
y=ex→y’=ex;
y=ln(x)→y’=1/x;
y=cosx→y’=-sinx;
y=sinx→y’=cosx;
y=tanx→y'=1/〖cosx〗^2 ˅y'=1+tan(_^2)(x);
y=arcsinx→y'=1/√(1-x^2 );
y=arccosx→y'=(-1)/√(1-x^2 );
y=arctanx→y'=1/(1+x^2 );
y=cotanx→y'=(-1)/(1+x^2 ).