Quadrato – formule ed esercizio

In questo appunto viene descritto in modo approfondito il quadrato, le sue caratteristiche, gli elementi che lo compongono e le formule che lo descrivono; con esercizio finale svolto, utile per verificare le proprie conoscenze.

Il quadrato

Il quadrato è una figura piana (figura bidimensionale che è completamente contenuta in un piano).
Il quadrato è un particolare tipo di poligono: parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa; dato che il quadrato è costituito da 4 lati congruenti (aventi la stessa lunghezza), esso rientra nella categoria dei poligoni regolari (poligoni caratterizzati da tutti i lati congruenti).

Il quadrato è quindi una figura composta da 4 segmenti congruenti che prendono il nome di lati; tali segmenti sono disposti in modo perpendicolare (due segmenti adiacenti formano un angolo retto), ciò implica che due lati opposti, non adiacenti, sono disposti in modo perpendicolare.

Il quadrato è costituito da 4 lati, 4 vertici (punti di intersezione di due lati) e da 4 angoli retti (angoli di ampiezza pari a 90°).

Ricordiamo che un angolo è la parte di piano compresa tra due semirette aventi l’origine in comune.

Dato un quadrato è possibile individuare due ulteriori segmenti caratteristici che prendono il nome di diagonali; una diagonale è un segmento che congiunge due vertici non adiacenti.
In un quadrato le diagonali hanno delle proprietà particolari:

• le due diagonali sono congruenti
• le due diagonali sono bisettrici degli angoli del quadrato (dividono gli angoli del quadrato in due parti congruenti, di ampiezza pari a 45°)
• una diagonale divide il quadrato in due triangoli congruenti
• le diagonali si dividono a metà a vicenda in due segmenti congruenti.

Nelle figure piane un altro elemento importante è l’altezza ovvero il segmento che ha come estremo un vertice e che cade perpendicolarmente ad un lato che prende il nome di base; dato che in un quadrato i lati sono perpendicolari si ha che l’altezza coincide con un lato del quadrato.
Per ulteriori approfondimenti sui poligoni e sulle loro proprietà vedi anche qua

Il quadrato: area e perimetro

Un quadrato è un caso particolare di parallelogramma (figura piana composta da quattro lati a due a due paralleli e congruenti) perciò per calcolare l’area e il perimetro di un quadrato è possibile adattare le formule per parallelogramma al caso del quadrato.

L’area è la parte di piano delimitata dalla figura; generalmente l’area può essere calcolata moltiplicando la base per l’altezza ma dato che nel quadrato l’altezza corrisponde ad un lato del quadrato e dato che un quadrato è composto da 4 lati congruenti, è possibile calcolare l’area semplicemente moltiplicando il lato per sé stesso.
Per trovare l'area facciamo:

(lato per lato)

A volte può essere richiesto di trovare un lato del quadrato, nota l’area; per fare ciò è possibile utilizzare la seguente formula inversa:

(radice quadrata dell'area)

Il perimetro di una figura corrisponde alla lunghezza della linea che definisce la figura, generalmente la lunghezza del perimetro può essere calcolata sommando tra loro tutti i lati che compongono la figura. Dato che un quadrato è composto da quattro lati congruenti, il perimetro può essere facilmente calcolato moltiplicando per 4 la lunghezza di un lato.

(lato per 4), oppure

(sommiamo i lati).

A volte può essere richiesto di trovare la lunghezza di un lato del quadrato noto il perimetro; per fare ciò è possibile utilizzare la seguente formula inversa:

Un ultimo elemento caratteristico del quadrato è la diagonale.
La lunghezza della diagonale può essere calcolata utilizzando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo individuato da due lati adiacenti e da una diagonale e ricordando che in un quadrato i lati che lo compongono sono congruenti.
Se conosciamo la lunghezza del lato di un quadrato, possiamo applicare il teorema di Pitagora e otteniamo che la lunghezza della diagonale corrisponde a:

Per ulteriori approfondimenti sul triangolo rettangolo e sulle sue proprietà vedi anche qua

Esercizio svolto:

Un quadrato è costituito da lati aventi lunghezza pari a 5cm, calcolare l’area, il perimetro e la diagonale del quadrato.

Il problema considera un quadrato perciò è possibile utilizzare le formule descritte precedentemente.
Per calcolare l’area del quadrato è necessario moltiplicare la lunghezza del lato per sé stesso; l’area risulta quindi essere:

Da questo risultato è possibile notare come l’unità di misura di un lato sia una lunghezza (metri, multipli o sottomultipli) mentre l’unità di misura dell’area è in metri quadrati (o multipli o sottomultipli).

Per calcolare il perimetro di un quadrato è necessario moltiplicare per 4 la lunghezza di un lato; il perimetro risulta quindi essere:

Infine possiamo calcolare la lunghezza della diagonale moltiplicando il valore del lato per la radice di 2; la diagonale risulta quindi essere:

Possiamo notare come la lunghezza della diagonale sia un valore compreso tra la lunghezza di un lato e il doppio di un lato; questa caratteristica è ricorrente nel caso dei quadrati.