In questo appunto di matematica si descrive la figura geometrica del quadrato e vengono date tutte le formule risolutive, dirette ed inverse, ad esso collegate. Le nozioni teoriche sono inoltre abbinate a opportuni esempi per facilitarne la comprensione.
Indice
- Il quadrato e le formule ad esso associate
- Esercizio 1: Calcolare l'area di un quadrato di cui è noto il perimetro.
- Esercizio 2: Calcolare la misura del lato del quadrato, conoscendo l'area.
- Esercizio 3: Calcolare l’area di un quadrato conoscendo l’area di un secondo quadrato e la proporzione delle aree.
- Esercizio 4: Calcolare l'area di un quadrato isoperimetrico ad un rettangolo
- Esercizio 5: Calcolare perimetro e diagonale di un quadrato avente il lato uguale all'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele
Il quadrato e le formule ad esso associate
Il quadrato è una figura piana che rientra nella categoria dei poligoni convessi ed appartenente alla classe dei quadrilateri: esso, infatti, dispone di quattro lati e quattro angoli.
Il quadrato è un particolare tipo di parallelogramma.
E’ noto che si definisce parallelogramma un quadrilatero avente i lati uguali e paralleli a due a due: un quadrato è un parallelogramma che ha tutti i lati uguali e tutti gli angoli retti.
Queste sue caratteristiche fanno si che le sue diagonali, non soltanto si tagliano a metà (come accade per tutti i parallelogrammi), ma sono fra loro ortogonali. Ciascuna diagonale divide il quadrato dato in due triangoli rettangoli isosceli ovviamente uguali.
Un quadrato può anche essere pensato come un rettangolo in cui base ed altezza hanno la stessa misura ed in base a questa considerazione il calcolo della sua area risulta molto semplice.
Sia dato un quadrato di lato l, definiamo la sua area, A, come:
A = l \cdot l
[/math]
quindi
A = l^2
[/math]
da tale formula si può ricavare l’espressione del lato nota l’area stessa
l = \sqrt{A},
[/math]
ossia la misura del lato di un quadrato si ottiene estraendo la radice quadrata della sua area.
Il perimetro di tale quadrato si trova moltiplicando il lato per quattro:
2p = 4 \cdot l
[/math]
e da tale formula è possibile ricavare il lato, noto, ovviamente il perimetro:
l = \frac{2p}{4}.
[/math]
Noto il lato del quadrato è possibile ricavare la diagonale del quadrato tramite il Teorema di Pitagora:
d^2 = l^2 + l^2
[/math]
ossia
d = \sqrt{ l^2 + l^2}
[/math]
da cui
d = \sqrt{ 2 \cdot l^2}.
[/math]
Ovviamente nota la diagonale si può ricavare la formula che ci fornisce la misura del lato:
l = \frac{d}{\sqrt{2}}.
[/math]
Nota la misura della diagonale, la misura del lato può essere ricavata anche tramite le classiche formule di trigonometria:
l = d \cdot sin(\frac{\pi}{4})
[/math]
ossia
l = d \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.
[/math]
Esercizio 1: Calcolare l'area di un quadrato di cui è noto il perimetro.
Sia dato un quadrato avente il perimetro pari a 16 cm, se ne vuole calcolare l’area.
2p = 16 cm
[/math]
A = ?
Svolgimento
Noto il perimetro, tramite la formula inversa si può calcolare la misura del lato:
l = \frac{2p}{4}
[/math]
ossia calcoliamo la misura del lato a partire dal perimetro:
l = 2p : 4 = (16 : 4) = 4 cm.
[/math]
A questo punto possiamo procedere al calcolo dell’area utilizzando la formula che abbiamo precedentemente riportato:
A = l^2
[/math]
Quindi applichiamo la formula diretta per il calcolo dell'area:
A = l^2 = (4)^2 cm^2
[/math]
da cui
A = 16 cm^2
[/math]
che ci fornisce l’area del quadrato considerato.
Esercizio 2: Calcolare la misura del lato del quadrato, conoscendo l'area.
Un pezzo di stoffa di forma quadrata ha una superficie di 49 cm^2. Si vuole trovare la misura del lato.
A = 49 cm^2
[/math]
l = ?
Svolgimento
Al fine di calcolare il lato della pezza di stoffa che ha forma quadrata e della quale si conosce la superficie, occorre utilizzare la formula inversa ottenuta dall’area stessa:
data
A = l^2
[/math]
si ha che
l = \sqrt{A}.
[/math]
Applicando tale formula a questo particolare caso si ha che:
l = \sqrt{49} cm
[/math]
quindi
l = 7 cm che esprime la misura del lato del quadrato considerato.
Esercizio 3: Calcolare l’area di un quadrato conoscendo l’area di un secondo quadrato e la proporzione delle aree.
Sia dato il quadrato Q avente area
121,5 cm^2
[/math]
ed il quadrato
Q_1
[/math]
che ha area pari ai
\frac{2}{3}
[/math]
dell’area di Q. Si vuole calcolare il lato del quadrato
Q_1
[/math]
, che indichiamo con
l_1.
[/math]
A_Q = 121,5 cm^2
[/math]
A_{Q_1} = \big(\frac{2}{3}\big) \cdot A_Q
[/math]
l_1 = ?
[/math]
Svolgimento
Sapendo che
A_Q = 121,5 cm^2
[/math]
e che
A_{Q_1} = \big(\frac{2}{3}\big) \cdot A_Q
[/math]
si può trovare
A_{Q_1}
[/math]
, ossia
A_{Q_1} = \big(\frac{2}{3}\big) \cdot (121,5) cm^2
[/math]
A_{Q_1} = 81 cm^2
[/math]
che è l’area del secondo quadrato.
A questo punto tramite la formula inversa che nota l’area esprime il lato si ha che:
l = \sqrt{A}
[/math]
ossia
l_1 = \sqrt{A_{Q_1}}
[/math]
da cui
l_1 = \sqrt{81} cm
[/math]
quindi
l_1 = 9 cm.
[/math]
Esercizio 4: Calcolare l'area di un quadrato isoperimetrico ad un rettangolo
Determinare l’area di un quadrato il cui perimetro è uguale a quello del rettangolo avente una dimensione di 42 dm e l’altra supera la metà di questa di 5 dm.
B_r = 42 dm
[/math]
H_r = \frac{B_r}{2} + 5 dm
[/math]
A_q = ?
[/math]
Svolgimento
Data la base del rettangolo
B_r = 42 dm
[/math]
, si ottiene la sua altezza da:
H_r = \frac{B_r}{2} + 5 dm
[/math]
ossia
H_r = \big(\frac{42}{2} + 5\big) dm
[/math]
da cui
H_r = 26 dm.
[/math]
Conoscendo le dimensioni del rettangolo in questione, si può calcolare il suo perimetro,
2p_r:
[/math]
2p = 2 \cdot ( B_r + H_r)
[/math]
ossia
2p = 2 \cdot ( 42 + 26) dm
[/math]
quindi
2p_r = 136 dm.
[/math]
Tale perimetro è lo stesso di quello del quadrato,
2p_q
[/math]
,
ossia:
2p_r = 2p_q
[/math]
per cui si può trovare il lato, l, del quadrato utilizzando la seguente formula:
l = \frac{2p_q}{4}
[/math]
ossia
l = \frac{136}{4} dm
[/math]
l = 34 dm.
[/math]
Conoscendo il lato si può calcolare l’area del quadrato, come richiesto dal problema:
A_q = l^2
[/math]
ossia
A_q = (34)^2 dm^2
[/math]
da cui
A_q = 1156 dm^2.
[/math]
Esercizio 5: Calcolare perimetro e diagonale di un quadrato avente il lato uguale all'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele
Sia dato un triangolo rettangolo isoscele avente lato, l, pari a 15 dm.
Calcolare il perimetro,
2p_q
[/math]
, e la diagonale, D, del quadrato che ha per lato l’ipotenusa di tale triangolo isoscele rettangolo.
Svolgimento
Conoscendo i cateti del triangolo rettangolo isoscele, si può calcolare la sua ipotenusa che corrisponde al lato, L, del quadrato considerato, tramite il Teorema di Pitagora:
L^2 = l^2 + l^2
[/math]
ossia
L^2 = 2 \cdot l^2
[/math]
da cui
L = l \cdot \sqrt{2}
[/math]
Quindi sostituendo i valori numerici
L = 15 \cdot \sqrt{2} dm
[/math]
il cui valore approssimato è:
L \simeq 21,213 dm.
[/math]
Il valore L trovato è il lato del quadrato di cui si vuole calcolare il perimetro,
2p_q
[/math]
, e la diagonale, D.
Quindi si ha che:
2p_q = 4 \cdot L
[/math]
e sostituendo i valori numerici
2p_q = 4 \cdot (15 \cdot \sqrt{2}) dm
[/math]
da cui
2p_q = 4 \cdot (15 \cdot \sqrt{2}) dm
[/math]
ossia
2p_q = (60 \cdot \sqrt{2}) dm
[/math]
il cui valore approssimato può essere stimato
2p_q \simeq 84,85 dm.
[/math]
Per il calcolo della diagonale, D, torniamo ad applicare il Teorema di Pitagora:
D^2 = L^2 + L^2
[/math]
da cui
D^2 = 2 \cdot L^2
[/math]
ed estraendo la radice quadrata
D = L \cdot \sqrt{2}
[/math]
Sostituendo i valori numerici nella quale si ottiene:
D = (15 \cdot \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} dm
[/math]
ossia
D = 15 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) dm
[/math]
quindi
D = 15 \cdot (\sqrt{2})^2 dm
[/math]
infine
D = 15 \cdot 2 dm
[/math]
pertanto
D = 30 dm.
[/math]
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