Cos'è il piano cartesiano: definizione ed esercizio

In quest'appunto di matematica troverai tutte le informazioni riguardanti il piano cartesiano, dalla definizione agli step da compiere per posizionare correttamente i punti su di esso. Alla fine della pagina è presente un esercizio di geometria svolto mediante il suo utilizzo.

Cos'è il piano cartesiano e perchè è importante

Il sistema cartesiano è un sistema di riferimento a due assi che permette di individuare la posizione di un punto attraverso le coordinate.

Esse sono rappresentate da due valori che esprimono la distanza dal centro della proiezione del punto sull'asse delle ascisse e sull'asse delle ordinate.

L'asse delle ascisse e l'asse delle ordinate sono due assi perpendicolari, ossia due rette orientate che dividono lo spazio in quattro quadranti e si incontrano in un punto chiamato origine degli assi. La parte positiva dell'asse delle ascisse è quella a destra rispetto all'origine, mentre la parte positiva dell'asse delle ordinate è quella che giace sopra l'origine degli assi.
La numerazione dei quadranti si effettua partendo dal quadrante in cui entrambi gli assi sono positivi e procedendo poi in senso orario.

Come posizionare correttamente i punti sul diagramma cartesiano

Gli step da effettuare per posizionare correttamente i punti sul diagramma cartesiano sono gli stessi che si compiono durante una partita di battaglia navale. In quel caso, ogni nave posizionata occupa un certo numero di caselle, ossia un certo numero di punti individuabili da coordinate.

Per valutare la posizione di un punto, bisogna leggere le coordinate che lo definiscono, ossia la coppia di punti. Il primo valore rappresenta il valore dell'ascissa, cioè la posizione del punto rispetto all'asse x, mentre il secondo valore rappresenta quello dell'ordinata ossia il posizionamento del punto rispetto all'asse y.

Una volta letto il valore di ascissa del punto, bisogna rintracciarlo sull'asse x, tenendo presente la dimensione dell'unità utilizzata per la definizione del piano cartesiano. Poi bisogna tracciare una retta perpendicolare all'asse x e che lo interseca nel punto definito dal valore dell'ascissa.

Le stesse azioni devono essere compiute rispetto all'asse delle ordinate: bisogna trovare il valore corrispondente all'ordinata sull'asse e tracciare una retta perpendicolare all'asse delle y che la intercetta proprio in quello specifico valore di ordinata. Il punto è posizionato proprio nell'intersezione delle due rette perpendicolari tracciate.

Il piano cartesiano può essere utilizzato non solo per giocare a battaglia navale, ma per molte applicazioni di natura matematica. La più importante è sicuramente la realizzazione di grafici di funzione, fondamentali per capire l'andamento di una variabile (ad esempio

) nel tempo o rispetto ad altre variabili.

Esercizio di geometria sui quadrilateri nel piano cartesiano

Rappresenta nel piano cartesiano i punti

e congiungili nell' ordine dato. Poi:

• classifica il quadrilatero
  [math]ABCD[/math]
  giustificando la tua risposta
• determina perimetro e area di tale quadrilatero

Svolgimento

Il primo passo da compiere è posizionare i punti elencati nella traccia seguendo le regole precedentemente illustrate e unirli nell'ordine

attraverso dei segmenti continui. La figura ottenuta è un quadrilatero.

Poiché vi sono due coppie di lati paralleli (

e

sono paralleli all'asse x e

e

sono paralleli all'asse y) possiamo affermare con certezza che si tratta di un rettangolo. In questo tipo di figura piana, i quattro angoli presenti sono tutti retti.

Adesso è necessario determinare il perimetro e l'area del rettangolo. Partiamo dal primo: esso è per definizione la somma della lunghezza di tutti i lati che costituiscono il contorno della figura.

Per calcolare la lunghezza dei segmenti paralleli all'asse

bisogna effettuare semplicemente la differenza tra le ordinate dei loro estremi, in quanto i due punti hanno lo stesso valore di ascissa. Lo stesso approccio può essere utilizzato anche per calcolare la lunghezza dei segmenti paralleli all'asse x, che è data dalla differenza tra i valori delle ordinate degli estremi, avendo questi ultimi la stessa ascissa.

In termini matematici:

e

Quindi il perimetro

è:

.

Attenzione: le lunghezze sono espresse senza unità di misura perchè non è indicata sul piano cartesiano la lunghezza della misura unitaria

Per quanto riguarda l'area, invece, considerando che:

• [math]DC[/math]
  e
  [math]AB[/math]
  sono le basi del rettangolo
• [math]AD[/math]
  e
  [math]BC[/math]
  sono le altezze del rettangolo

possiamo applicare la formula

che in questo caso diventa

Per ulteriori approfondimenti sul diagramma cartesiano vedi anche qua