Teorema di Pitagora

Un triangolo rettangolo, ossia con un angolo di 90°, ha una denominazione dei lati particolare: I due lati che formano l'angolo retto vengono detti cateti; il restante è l'ipotenusa.

Il teorema di Pitagora dice che, in un triangolo rettangolo, la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti (chiamiamoli a e b) è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (che nomineremo i). In formula:

[math]i^2=a^2+b^2[/math]

Da questo teorema si può anche dire che:

[math]a^2=i^2-b^2,\qquad b^2=i^2-a^2[/math]

Inoltre, se gli angoli sono noti, il teorema di Pitagora si può scrivere in modi più semplici, perché dagli angoli si calcolano i rapporti tra i cateti.

Angoli di 45°
Un triangolo rettangolo isoscele che ha gli angoli di 90, 45 e 45 gradi (la somma degli angoli interni di un triangolo è infatti 180°) è un caso particolare.

La sua area è pari alla metà di un quadrato avente per lato un cateto. Si tratta, quindi, di un triangolo rettangolo con i cateti uguali. Applicando il teorema di Pitagora per calcolare l'ipotenusa, si ottiene:

[math]i^2=l^2+l^2=2l^2\ \Rightarrow\ i=l\sqrt{2}\ \Rightarrow\ l=\frac{\sqrt{2}}{2} i[/math]

Angoli di 30° e 60°
Un triangolo rettangolo che ha gli angoli di 90, 30 e 60 gradi è un altro caso particolare.

Questo triangolo è la metà di un triangolo equilatero avente per lato l'ipotenusa, quindi un cateto è lungo quanto la metà dell'ipotenusa, perché è metà della base del triangolo equilatero; l'altro cateto è l'altezza del triangolo equilatero.
Identificando con l l'ipotenusa e con h il cateto che forma l'angolo di 30°, possiamo dire che:

[math]l^2=h^2+\frac{l^2}{4}\ \Rightarrow\ h^2=\frac{3l^2}{4}\ \Rightarrow\ h=\frac{\sqrt{3}}{2} l[/math]

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