Formula di Erone

Spieghiamo in questo appunto l'utilizzo della formula di Erone per il calcolo dell'area di un triangolo qualsiasi. Vi sono due dimostrazioni: una geometrica dimostrabile mediante il Teorema di Pitagora, ed una trigonometrica con il teorema di Carnot, ma in questa sede è spiegato solo il procedimento da seguire. L'appunto è strutturato per gli alunni delle suole medie e può essere un valido aiuto per un eventuale ricerca sull'argomento; un'applicazione numerica completa la trattazione per vedere come usare la formula.

Area di un triangolo con la formula diretta

L’area di un triangolo qualsiasi è data dal semiprodotto della misura della base per l’altezza.

In un triangolo le altezze sono tre, perciò la scelta è arbitraria, nel senso che ogni volta che scegliamo un lato come base dobbiamo considerare l'altezza ad esso relativa. Con le conoscenza matematiche di scuola media, quando sono note solo le misure dei tre lati e non si conosce la misura di nessuna delle tre altezze, non è possibile applicare la formula diretta. In realtà con la trigonometria il problema non si pone perché è sempre possibile risolvere un triangolo, cioè determinare tutti i suoi elementi a partire da 3 di essi.
Per gli alunni delle scuole medie esiste la magia della formula di Erone, dal nome del matematico di Alessandria che la dimostrò. Questa formula dunque consente di calcolare l'area di un triangolo qualsiasi, proprio in questa situazione.

Erone, matematico e non solo

Erone Alessandrino è noto nella storia della matematica soprattutto per la formula che porta il suo nome, anche se sembra che la formula fosse già nota ad Archimede, famoso per i sui studi sui fluidi e la formulazione della legge di galleggiamento dei corpi nota come spinta di Archimede. La dimostrazione della formula di Erone è contenuta in una sua opera matematica intitolata Metrica, ed è effettuata per via geometrica. Quest’opera di Erone era andata perduta per molto tempo finché non venne riscoperta a Costantinopoli nel 1896 in un manoscritto che risaliva al 1100. Ricordiamo che originariamente il termine geometria significava misura del terreno ma la geometria classica, quella che troviamo negli Elementi di Euclide o nelle Coniche di Apollonio è ben lontana dalla agrimensura.
La Metrica di Erone mostra infatti che non tutta la matematica greca era del tipo classico. Esistevano in pratica due livelli di studio delle figure geometriche, che corrispondevano alla distinzione fatta tra aritmetica e logistica. Con il termine aritmetica si intendeva la teoria dei numeri mentre con il termine logistica si intendeva la tecnica di calcolo. La matematica che troviamo in Erone è di tipo babilonese, basata essenzialmente su tecniche di calcolo, nella Metrica ci sono infatti, molti esempi numerici di misurazione di lunghezze, di aree e di volume.
Oltre alla matematica e alla geometria Erone si occupò anche di fisica e in particolare di ottica. Studiò le leggi della riflessione e un po’ di astronomia. Scrisse anche un trattato di meccanica dove spiegava le macchine semplici il cui funzionamento si basava fondamentalmente sulle leve.
Erone fu anche inventore. Realizzò un dispositivo che serviva ad aprire e chiudere, in maniera automatica, le porte di un tempio; inventò anche il tasto per gli strumenti a corda, il martelletto che colpisce la corda all'interno di un pianoforte, quando si pigia un tasto, è stato inventato da Erone.

Formula di Erone, cenni alla dimostrazione geometrica

La formula viene presentata per la prima volta agli studenti della scuola media e non se ne dà dimostrazione. La formula esprime l'area A di un triangolo qualsiasi in funzione dei suoi lati (a, b, c) e del semiperimetro (p).
La dimostrazione per via geometrica non è molto complicata ma è un po’ laboriosa, si dimostra utilizzando semplicemente il teorema di Pitagora e un bel po’ di algebra. Si considera un triangolo qualsiasi i cui lati hanno misure a, b, c; si sceglie in maniera arbitraria uno dei tre lati come base e si traccia l'altezza relativa a questo lato. In questo modo il triangolo viene suddiviso in due triangoli rettangoli che hanno in comune un cateto rappresentato dall'altezza tracciata. Si applica dunque il teorema di Pitagora esprimendo l'altezza in comune in funzione degli altri lati in ciascuno dei due triangoli ottenuti. La parte successiva della dimostrazione consiste in una serie di passaggi algebrici che portano alla espressione ben nota a tutti gli studenti:

Formula di Erone cenni alla dimostrazione trigonometrica

Nel corso degli studi superiori, quando si intraprende lo studio della
trigonometria, gli studenti ritrovano di nuovo la formula di Erone e viene dimostrata con il teorema di Carnot o teorema del coseno.
Il teorema di Carnot segue dal teorema delle proiezioni esso afferma che: in un triangolo qualsiasi il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell’angolo compreso.
Esiste una formula analoga a quella di Erone che consente di determinare l’area di un quadrilatero. La formula vale solo se si tratta di un quadrilatero ciclico cioè un quadrilatero che può essere inscritto in una circonferenza. Si tratta della formula di Brahmagupta, analoga nella scrittura ma con un fattore in più la differenza tra il semiperimetro e il quarto lato

Se nella formula il termine d è nullo, si ottiene quella di Erone, che può essere vista come un caso particolare della formula di Brahmagupta.

Per approfondimenti sul teorema del coseno vedi anche qui

Esempio di applicazione della formula

Calcolare l'area di un triangolo sapendo che le misure dei lati sono rispettivamente:
a = 54 cm; b = 72 cm; c = 90 cm

Svolgimento

Calcoliamo innanzitutto il valore del semiperimetro, sommando le misure dei lati:

Applichiamo ora la formula di Erone:

[math]A=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}[/math]
[math]A=\sqrt{108\cdot (108-54)\cdot (108-72)\cdot (108-90)} cm^2[/math]
[math]A=\sqrt{108\cdot 54\cdot 36\cdot 18} cm^2[/math]
[math]A=\sqrt{3779136} cm^2[/math]
[math]A=1944 cm^2[/math]

Abbiamo così calcolato l’area del triangolo.
Ora, con la formula inversa dell’area è possibile determinare la misura dell’altezza relativa a ciascun lato.
Siano rispettivamente

le altezze relative ai lati a, b , e c. Abbiamo:

• [math]h_1=\frac{2A}{a}cm=72cm[/math]
• [math]h_2=\frac{2A}{b}cm=54cm[/math]
• [math]h_3=\frac{2A}{c}cm=43.2cm[/math]