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Risoluzione di esercizi con Formula di Erone

Approcciamoci all'applicazione della formula di Erone per risolvere problemi geometrici, ma molto complessi, con l'ausilio delle equazioni di secondo grado.
Esercizio
In un triangolo ABC si ha che: AB = 12; BC = 20. Sapendo che l'area di ABC misura 96, determinare AC.
Conosciamo benissimo la formula di Erone:
[math]S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/math]
. Possiamo esprimere il semiperimetro p come
[math]\frac{32+x}{2}[/math]
.
A questo punto:
[math]S = \sqrt{(\frac{32+x}{2})(\frac{x+8}{2})(\frac{x-8}{2})(\frac{32-x}{2})}[/math]
Sembrerebbe molto lento sviluppare tutti i prodotti, in realtà basta notare che ci sono esattamente due coppie di somme per differenze.
Allora:
[math]S = \sqrt{(\frac{1024-x^2}{4})(\frac{x^2-64}{4})}[/math]
Sviluppiamo ciò che rimane.
[math]S = \sqrt{\frac{1024x^2-65536-x^4+64x^2}{16}}[/math]
[math]\frac{1024x^2-65536-x^4+64x^2}{16}=9216[/math]
[math]1024x^2-65536-x^4+64x^2 = 147456[/math]
[math]1088x^2-x^4=212992[/math]
Da cui ricaviamo l'equazione di quarto grado:
[math]-x^4+1088x^2-212992 = 0[/math]
Poniamo
[math]x^2 = t[/math]
Allora avremo:
[math]-t^2+1088t-212992 = 0[/math]
Risolviamo:
[math]t_1 = \frac{-1088+\sqrt{331776}}{-2} = \frac{-512}{-2} = 256[/math]
Da cui si ottiene che
[math]x_1 = 16[/math]
, quindi la risposta è 16.
Ovviamente c'è un altra soluzione che equivale a
[math]\sqrt{832}[/math]
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