Teorema del coseno o di Carnot

Oggi vedremo tutto quello che serve sapere sul teorema del coseno che è uno dei più importanti teoremi in trigonometria. Partiamo subito con l'enunciato:

In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto di questi due lati moltiplicato per il coseno dell'angolo che essi formano.

Cerchiamo di capire come si traduce in formule tutto questo. Focalizziamoci sul lato

; il teorema afferma che il quadrato di un lato, ad esempio il quadrato del lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, quindi in questo avremo il lato al quadrato ed il lato al quadrato, a cui dobbiamo sottrarre il doppio prodotto , moltiplicati per il coseno dell'angolo che essi formano. E vedete che l'angolo che essi formano è l'angolo opposto al lato che vogliamo trovare, quindi in questo caso è l'angolo . Quindi il teorema afferma in simboli:

Naturalmente la stessa cosa vale per gli altri due lati, e quindi il teorema ci dice che vale questa terna di relazioni qui:

Se uno volesse essere più formale, mi raccomando non si può fare il quadrato di un lato, perché il lato è un segmento, evidentemente quando uno dice che vuole fare il quadrato del lato intende il quadrato della misura di un lato, ma siccome questo è ovvio di solito uno per brevità se la cava dicendo quadrato del lato e si capisce chiaramente cosa intende.

Cerchiamo di dimostrare questo teorema, ed in particolare cerchiamo di dimostrare che vale la prima dei tre relazioni che abbiamo scritto, per dimostrare le altre due si procede in modo del tutto equivalente e limitiamoci al caso di un triangolo acutangolo.

La prima da cosa da fare è tracciare l'altezza relativa al lato

, ed una volta tracciata l'altezza si accorge che il triangolino che vedete qui a sinistra è un triangolo rettangolo e quindi la misura dell'altezza che per quel triangolino è il cateto, si può ottenere moltiplicando l'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto.
Inoltre, sempre considerando quel triangolo rettangolo, uno si accorge che l'altro cateto, misurerà questa volta l'ipotenusa per il coseno di . E quindi visto che il cateto minore del triangolo rettangolo misura e l'intero lato misurava , quindi il rimanente pezzettino sarà pari a .

A questo punto "per vincere" ci basta applicare il teorema di Pitagora all'altro triangolo rettangolo che vedete lì sulla destra. Se uno applica Pitagora, si vede subito che deve valere questa relazione qui:

Ora ricordando che l'altezza era uguale a

, e svolgendo il quadrato nella parentesi, uno può riscrivere la relazione precedente in questo modo qui:

E vedete che comincia ad uscire qualcosa che assomiglia a dove vogliamo arrivare noi. in particolare che notate che questi due termini:

hanno un fattore che possiamo raccogliere, . Quindi otteniamo:

Per la relazione fondamentale della trigonometria, che non è altro che al Teorema di Pitagora applicato alla circonferenza trigonometria; e quindi

, avremo che: