Teorema di Carnot: dimostrazione e osservazioni

In questo appunto di Trigonometria viene trattato nel dettaglio il teorema di Carnot, anche conosciuto come teorema del coseno. Una volta presentato l'enunciato, verrà esposta la dimostrazione del teorema, con spiegazione inoltre delle sue applicazioni.

Enunciato del Teorema di Carnot

L'enunciato del Teorema di Carnot o del coseno è il seguente:
In un triangolo qualsiasi il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto di questi due lati moltiplicato per il coseno dell'angolo che essi formano.

Cerchiamo di capire come si traduce in formule tutto questo. Consideriamo un triangolo qualsiasi con la nomenclatura seguente: i lati sono

, , e , e gli angoli sono , , , tali per cui sia l'angolo opposto al lato , che sia l'angolo opposto al lato ed infine che sia l'angolo apposto al lato .
Focalizziamoci sul lato e applichiamo il teorema a questo lato: il teorema afferma che il quadrato del lato, in questo caso il quadrato del lato , è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, quindi in questo caso avremo il lato al quadrato sommato al lato al quadrato, a cui dobbiamo sottrarre il doppio prodotto , moltiplicato per il coseno dell'angolo che essi formano, ovvero . Da notare è che l'angolo che essi formano è l'angolo opposto al lato che vogliamo trovare, quindi in questo caso è l'angolo . Riepilogando in termini di formulazione matematica, il teorema del coseno o di Carnot afferma:

Naturalmente, la stessa cosa vale per gli altri due lati, e quindi il teorema ci dice che vale la seguente terna di relazioni:

Volendo essere più formali, dobbiamo constatare che non si può fare il quadrato di un lato, perché il lato è un segmento, chiaramente per "quadrato del lato" si intende il quadrato della misura di un lato.

Dimostrazione del teorema del coseno o di Carnot

Cerchiamo di dimostrare questo teorema, ed in particolare cerchiamo di dimostrare che vale la prima delle tre relazioni che abbiamo scritto, ovvero:

Per dimostrare le altre due si procede in modo del tutto equivalente. Limitiamoci al caso di un triangolo acutangolo.

Tornerà utile ricordare che il seno di un angolo è sempre uguale al rapporto tra il suo cateto opposto e l’ipotenusa del triangolo di cui fa parte, mentre il coseno è uguale al rapporto tra il suo cateto adiacente e l’ipotenusa.
Detto ciò, la prima da cosa da fare è tracciare l'altezza relativa

al lato . L'altezza tracciata divide il triangolo iniziale in due più piccoli. Consideriamone uno soltanto, noteremo che il triangolino formatosi è un triangolo rettangolo e quindi la misura dell'altezza che per quel triangolino consiste in un suo cateto, si può ottenere moltiplicando l'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto . In termini di formule si ha che l'altezza sarà pari a:

Inoltre, sempre considerando quel triangolo rettangolo, ci si accorge che l'altro cateto,

, misurerà questa volta l'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente, , ovvero:

E quindi, dal momento che il cateto minore del triangolo rettangolo misura

e l'intero lato misurava , il rimanente pezzettino sarà pari a:

A questo punto, per arrivare alla dimostrazione, basta applicare il teorema di Pitagora all'altro triangolo rettangolo che sta alla destra. Tramite l'applicazione del teorema di Pitagora, si intuisce subito che vale la seguente relazione:

Ora ricordando che l'altezza era uguale a

, e svolgendo il quadrato di binomio tra parentesi, si può riscrivere la relazione precedente in questo modo qui:

Da notare è che la relazione comincia ad assomigliare a quella a cui vogliamo arrivare noi. In particolare, bisogna notare i seguenti due termini:

I precedenti due termini hanno un fattore comune che possiamo raccogliere, ovvero:

Raccogliendo il fattore comune quindi otteniamo:

Consideriamo adesso la relazione fondamentale della trigonometria, che non è altro che il Teorema di Pitagora applicato alla circonferenza goniometrica, ovvero:

Data la relazione fondamentale della trigonometria, avremo che:

Come volevasi dimostrare.

Osservazioni

Il teorema del coseno ci permette facilmente di trovare la misura del lato di un triangolo qualsiasi avendo noti due lati del triangolo e l’angolo fra loro compreso.
Diversamente, possiamo ad esempio sfruttare il teorema di Carnot per ricavare il coseno di un angolo, avendo come quantità note le misure dei tre lati del triangolo.
Detto ciò, possiamo ben intuire che questo utile teorema non è altro che una generalizzazione del teorema di Pitagora che invece è applicabile ai triangoli rettangoli. Infatti, data la relazione del teorema del coseno, se al posto dell'angolo sostituiamo il valore , otteniamo:

Calcoliamo il valore del coseno

, ottenendo:

Quest'ultimo non è altro che il teorema di Pitagora per i triangoli rettangoli.

Per ulteriori approfondimenti sulla risoluzione di triangoli qualunque, vedi qui.