Area del rettangolo - Formula e problema svolto

Questo appunto di geometria per la scuola media verte sul rettangolo. La prima parte dell'appunto contiene una breve introduzione teorica finalizzata al ripasso dei concetti di base: generalità sui quadrilateri, classificazione del poligono rettangolo e sue proprietà, breve richiamo al concetto di superficie e sua misura, la formula dell'area per calcolare l’area. Come sempre dei problemi di semplice e rapida applicazione completano l’appunto per facilitare l’apprendimento dell’argomento.

Richiami sui quadrilateri

Il rettangolo appartiene alla classe dei quadrilateri, poligoni che hanno quattro lati, quattro vertici e quattro angoli.

In un quadrilatero si dicono opposti due lati che non siano consecutivi, due vertici che non appartengono allo stesso lato e due angoli che non siano adiacenti allo stesso lato. Il segmento che unisce due vertici opposti prende il nome di diagonale, in un quadrilatero se ne possono tracciare due. Per stabilire il numero delle diagonali che si possono disegnare all'interno di un quadrilatero si può utilizzare la formula seguente:

Dalla formula si evince che il numero di diagonali dipende dal numero dei lati; il rettangolo ha quattro lati e sostituendo questo valore al posto di

si ottiene come risultato due. In un ottagono che ha 8 lati quante se ne possono tracciare?

Si possono tracciare 20 diagonali.
Un'altra proprietà dei quadrilateri riguarda la relazione tra i lati in particolare ogni lato deve essere minore della somma degli altri lati così come si verifica nei triangoli.
La somma degli angoli interni di un quadrilatero è pari a tanti angoli piatti quanti sono i lati meno 2:

La somma degli angoli esterni è sempre un angolo giro, cioè vale 360°. Il perimetro di un quadrilatero si calcola sommando la lunghezza dei suoi lati. A differenza dei triangoli che possono essere solo convessi, un quadrilatero può essere anche concavo. Ricordiamo che una figura piana si dice convessa quando non contiene i prolungamenti dei suoi dati, viceversa si dice concava quando questo si verifica cioè quando prolungando gli estremi di almeno un lato questi attraversano la figura. I quadrilateri comprendono quattro gruppi di poligoni definiti come segue:

• scaleni, i cui lati non sono né paralleli né congruenti;
• trapezi, che presentano una coppia di lati composti paralleli;
• parallelogrammi, nei quali le due coppie di lati opposti sono paralleli e congruenti.

Definizione e proprietà del rettangolo

Il rettangolo è un quadrilatero con tutti gli angoli congruenti, e questi sono tutti angoli retti cioè di 90°.
Questa caratteristica la ritroviamo proprio nel nome del poligono, rettangolo sinonimo di angolo retto.

• In un rettangolo due lati consecutivi sono perpendicolari.
• In un rettangolo i lati opposti sono paralleli.
• In un rettangolo i lati opposti sono congruenti.
• Il rettangolo è dunque un parallelogramma.
• Le diagonali di un rettangolo sono congruenti e si dividono reciprocamente a metà questo significa che il punto in cui si incontrano è il punto medio di entrambe.
• Il rettangolo ha due assi di simmetria, è un centro di simmetria: gli assi sono le rette che congiungono i punti medi dei lati opposti, il centro di simmetria è il punto di intersezione delle due diagonali.

Area misura di superficie

L’area di una figura piana si intende la misura della sua superficie, è importante non fare confusione perché i due termini, area e superficie, non sono sinonimi. La superficie è la parte di piano che dobbiamo misurare, la parte di piano racchiusa dalla linea spezzata chiusa formata dai quattro lati del rettangolo. Ricordiamo che due figure che hanno la stessa area quindi la stessa misura di superficie sono dette equivalenti ma tali figure possono avere anche forme diverse. Due figure che hanno la stessa area e anche la stessa forma sono dette equivalenti perché possiamo sovrapporle esattamente l'una sull'altra. Due figure che hanno solo la stessa area ma forme differenti non si possono sovrapporre anche se occupano la stessa superficie quindi sono semplicemente equiestese.
Se proviamo a suddividere la superficie interna di un rettangolo in tanti quadratini possiamo pensare di calcolare l’area come somma di tutte le aree dei quadratini utilizzati. Se i quadratini hanno il lato di 1cm ciascuno avrà l’area di

. Ad esempio, se ne abbiamo utilizzati 15, allora vuol dire che l’area del rettangolo è di 15 centimetri quadrati, se ne abbiamo utilizzati 20 allora l'area è di 20 cm² e così di seguito. Ora però ci serve una formula per generalizzare questa procedura non possiamo ogni volta pensare di utilizzare centinaia e centinaia di quadratini.

Formula dell'area

Pensiamo alla procedura che abbiamo utilizzato quando abbiamo messo i quadratini nel rettangolo. Supponiamo di averli messi tutti ordinati per file contenenti lo stesso numero di quadratini. Nel primo esempio ne abbiamo utilizzati 15. Ci chiediamo ora in quanti modi potevamo disporre i nostri 15 quadratini? Potevamo procedere in due modi diversi.
Primo modo: 3 file, ciascuna da 5 quadratini.
Secondo modo: 5 file, ciascuna da 3 quadratini.
Ogni quadratino ha il lato di 1cm, questo significa che una fila di quadratini rappresenta la base b del rettangolo, e una colonna di quadratini rappresenta l'altezza h del rettangolo. Vediamo allora come sono i due rettangoli. Nel primo esempio abbiamo disegnato un rettangolo con base 5cm e altezza 3cm, nel secondo un rettangolo con base 3cm e altezza 5cm, in entrambi i casi il numero totale di quadratini è sempre 15. I due rettangoli sono raffigurati di seguito:

Poiché ogni quadratino ha il lato di un cm, il numero di quadratini per riga è anche la misura della base del rettangolo mentre il numero di quadratini per colonna è la misura dell’altezza.
Il prodotto di riga per colonna ci fornisce il numero totale di quadratini, e perciò anche l’area del rettangolo, abbiamo trovato la formula:

L’area di un rettangolo è data dal prodotto delle sue dimensioni.

Problema svolto sul calcolo dell’area

Calcola l'area di un rettangolo avente la base lunga 15 cm sapendo che l'altezza è i tre quinti della misura della base.
Svolgimento

Come prima cosa dobbiamo calcolare il valore dell'altezza h. Ehi bisogna fare i 3/5 della misura della base quindi dividiamo la lunghezza della base per 5 e poi moltiplichiamo per tre:

Determiniamo il valore dell'area applicando la relativa formula diretta:

Possiamo rispondere al problema posto
L'area del rettangolo è di 135 cm²

Per ulteriori approfondimenti sul rettangolo vedi qua