Confronto di figure geometriche

In questo paragrafo parliamo del confronto tra figure geometriche e in quali casi è possibile affermare che due figure geometriche abbiano la stessa area.

Abbiamo già visto il concetto di equivalenza per superfici piane. Iniziamo questo paragrafo chiedendoci: in quali casi due figure geometriche avranno la stessa area, cioè saranno equivalenti?

Considera due figure geometriche piane congruenti. Come sai, se due figure sono congruenti, una sarà identica all'altra, in tutto e per tutto.

Le due figure avranno la stessa forma, le stesse dimensioni, lo stesso perimetro. È come se la seconda figura fosse stata ottenuta facendo una copia perfetta della prima. È evidente che, se due figure sono congruenti avranno anche la stessa area.

Questo, però, non rappresenta l'unico caso in cui le due figure saranno equivalenti.

Talvolta, può capitare che due figure non siano congruenti ma siano equiscomponibili. Due figure si dicono equiscomponibili quando, pur non essendo congruenti si possono scomporre, cioè spezzettare, in figure più piccole congruenti tra loro.

Anche in questo caso, le due figure saranno equivalenti, cioè avranno la stessa area. Per convincerti di questa cosa puoi fare un'operazione molto semplice: ritaglia le figure e scomponile in parti che siano a due a due congruenti, cioè facendo in modo che ogni pezzettino della prima figura sia congruente ad ogni pezzettino della seconda. Ti accorgerai subito che potrai ricomporre la prima figura facendola coincidere perfettamente con la seconda: avrai cioè reso le due figure congruenti.

Se due figure geometriche non sono né congruenti né equiscomponibili, allora non avranno la stessa area, cioè non saranno equivalenti. Se non hanno la stessa area, allora una delle due figure avrà area maggiore e l'altra avrà area minore. La prima figura, quella con area maggiore, si dirà prevalente mentre la seconda, quella con area minore, si dirà subvalente.

Per ulteriori approfondimenti sulle figure equiscomponibili vedi anche qua

Il calcolo dell'area

In questo paragrafo vedremo nel dettaglio qual è il meccanismo che sta alla base del calcolo dell'area per le superfici piane.

Calcolare l'area di una figura geometrica significa assegnare un valore numerico alla sua estensione, in modo che questa sia confrontabile con altre e si possa determinare quale figura abbia area maggiore e quale area minore. O, come abbiamo visto, quale figura sia quella prevalente e quale quella subvalente.

Così come per le misure di lunghezza, anche per le misure di superficie occorre istituire un'unità di misura che faccia da riferimento. A quel punto, il numero di volte in cui l'unità di misura è contenuta nella figura della quale si vuole trovare l'area rappresenterà il valore dell'area di quella figura. Per far ciò, scegliamo una figura molto semplice da immaginare: un quadrato che abbia il lato di lunghezza pari ad un metro. Diciamo che l'area di questo poligono è pari ad un metro quadro (o un metro quadrato) che si scrive

.

A questa unità di misura, restano collegati tutti i multipli e i sottomultipli, proprio come accade per le misure di lunghezza. Per esempio, un quadrato di lato pari ad un centimetro avrà superficie uguale ad

. Immaginiamo di ritagliare un quadratino di lato pari ad un centimetro. Rappresentiamo poi una qualsiasi figura geometrica e contiamo quanti quadratini di lato pari ad un centimetro occorrono per riempire tutta la nostra figura: questa quantità rappresenterà proprio l'area della nostra figura.

Formule per calcolare le aree dei principali poligoni

Questo paragrafo potrà esserti molto utile per la risoluzione degli esercizi. In esso, infatti, sono elencate le formule per calcolare le aree dei principali poligoni.

Il procedimento descritto prima, cioè l'operazione di ritagliare un quadratino di lato pari a un centimetro e contare quante volte è contenuto in una certa figura, è piuttosto lungo e macchinoso. Per fortuna, quando ci viene richiesto di calcolare l'area di un poligono, possiamo avvalerci di alcune formule. Basterà sostituire in esse le misure del nostro poligono ed un rapido calcolo ci fornirà il valore dell'area.

Nel seguito, sono elencati i valori delle aree dei poligoni più utilizzati.

• Quadrato: calcolare l'area di un quadrato è molto semplice. Basta elevare alla seconda la misura del lato.
  
  [math] A=l^2[/math]
• Rettangolo: per calcolare l'area di un rettangolo è sufficiente moltiplicare tra loro la misura della base e quella dell'altezza.
  
  [math] A = b \cdot h [/math]
• Parallelogramma: per questa figura si può fare una semplice osservazione. Ogni parallelogramma è equivalente ad un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma. Ecco dunque che la formula per l'area di un parallelogramma è la stessa di quella per l'area di un rettangolo, cioè:
  
  [math] A = b \cdot h>/li>[/math]
• Triangolo: per calcolare l'area di un qualsiasi triangolo, bisogna moltiplicare la misura della base per quella dell'altezza e dividere per due il prodotto ottenuto.
  
  [math] A = \frac {b \cdot h}{2} [/math]
• Rombo: ogni rombo è equivalente alla metà di un rettangolo che ha per dimensioni le diagonali del rombo. La formula per calcolarne l'area è quindi:
  
  [math] A = \frac {D \cdot d}{2} [/math]
• Trapezio: l'area di un trapezio si ottiene moltiplicando la somma della misura delle basi per l'altezza del trapezio e dividendo il prodotto ottenuto per due.
  
  [math] A = \frac {(B+b) \cdot h}{2} [/math]
• Poligono regolare. Ricordiamo, innanzitutto, che un poligono regolare è un poligono sia equilatero che equiangolo. Ogni poligono regolare può essere diviso in spicchi, tutti della stessa forma, triangolare. Per ottenere ciascuno di questi spicchi, puoi congiungere il centro del poligono con ciascuno dei vertici. Ciascuno degli spicchi avrà la forma di un triangolo e tutti saranno congruenti tra loro. Osserva, inoltre, che il numero di spicchi nei quali verrà suddiviso il poligono è pari al numero dei suoi lati.
  A questo punto, per calcolare l'area di un poligono regolare basterà moltiplicare per il numero dei lati l'area di un singolo spicchio triangolare. Ma quanto vale l'area di uno di questi triangolini? Per ottenerla, utilizziamo la formula dell'area di un triangolo che abbiamo visto prima: base per altezza diviso due. La base del triangolo coincide con il lato del poligono, mentre la sua altezza coincide con l'apotema del poligono stesso, cioè il raggio della circonferenza inscritta al poligono.
  In generale, dunque, per calcolare l'area di un poligono regolare, si può applicare la formula:
  
  [math] A = n \cdot \frac {l \cdot a}{2} [/math]
  nella quale
  [math]n[/math]
  rappresenta il numero di lati di cui è costituito il poligono. Per esempio, nel caso di un esagono regolare, si ha
  [math] n = 6 [/math]
  .
  

Per ulteriori approfondimenti sulle formule di geometria piana, vedi anche qua