Area del rombo


Il rombo è un quadrilatero con quattro lati uguali.

Questo particolare parallelogramma ha molte altre proprietà:

    - gli angoli opposti sono congruenti, ossia
    [math]\widehat { BCD }= \widehat { BAD }\ \ \ e \ \ \ \widehat { ABC }= \widehat { ADC } ;[/math]
    -gli angoli adiacenti sono supplementari (cioè formano angoli di 180°);
    - le diagonali sono bisettrici degli angoli interni;
    -le diagonali sono tra loro perpendicolari, cioè si incontrano formando angoli di 90°;
    - quando le diagonali si intersecano si dividono vicendevolmente a metà, ossia
    [math]CO=OA \ \ \ e \ \ \ BO=OD .[/math]


Essendo un parallelogramma, per il rombo valgono le stesse formule per il calcolo dell'area e del perimetro. Tuttavia, proprio grazie alle caratteristiche di questa figura, l'area del rombo può essere trovata anche sfruttando formule diverse da quelle che valgono per gli altri parallelogrammi.

La formula comunemente più usata è senza dubbio la seguente:

[math]A=\frac{(D \cdot d)}{2}[/math]

dove con D abbiamo indicato la diagonale maggiore del rombo e con d quella minore (rispettivamente
[math]CA[/math]
e
[math]BD[/math]
nella figura).
Dimostrare questa formula è molto semplice.
Partiamo disegnando due rette, passanti per
[math]B[/math]
e per
[math]D[/math]
, parallele e congruenti a
[math]CA[/math]
. Analogamente, tracciamo due rette parallele e congruenti a
[math]BD[/math]
e passanti per
[math]A[/math]
e per
[math]C[/math]
. Otteniamo così il rettangolo
[math]EFGH[/math]
.

Sfruttando la congruenza dei segmenti evidenziati in figura possiamo mostrare facilmente la congruenza tra le coppie di triangoli:

[math]GDC \ e \ DOC[/math]
,
[math]DHA \ e \ DOA[/math]
,
[math]AEB \ e \ BOA[/math]
e
[math]BCF \ e \ BOC[/math]
.

Una volta osservato che questi triangoli sono congruenti, abbiamo dimostrato che il rettangolo occupa una superficie doppia rispetto a quella del rombo, quindi, possiamo determinare l'area del rombo partendo da quella del rettangolo e dividendola per due.
Per costruzione, però, la base del rettangolo ha la stessa misura della diagonale maggiore del rombo, mentre l'altezza corrisponde alla diagonale minore.
Pertanto l'area del rettangolo
[math]EFGH[/math]
è:
[math]A_{EFGH}=EF \cdot RG = D \cdot d[/math]

da cui segue la nostra formula dividendo per 2.


Oltre la formula delle diagonali abbiamo altri modi alternativi per calcolare l'area del rombo.

Se conosco il raggio del cerchio inscritto:

[math]A=2l \ r[/math]
, dove
[math]l[/math]
è il lato del rombo e
[math]r[/math]
il raggio del cerchio inscritto.

NOTA: Osserviamo che tale cerchio può essere tracciato perché è soddisfatta la condizione di circoscrivibilità dei quadrilateri (cioè sono uguali le somme delle misure dei lati opposti).

Se conosco un angolo qualunque (e la trigonometria!):

[math]A=l^2 sin(\alpha)[/math]
, dove con
[math]\alpha[/math]
ho indicato uno qualsiasi degli angoli interni.

Formule inverse a riguardanti l'area:

[math]D= \frac{2A}{d}\\
d= \frac{2A}{D}\\
l=\frac{A}{2r}\\
r=\frac{A}{2l} \\
l=sqrt(\frac{A}{sin(\alpha)})\\
\alpha= arcsin(\frac{A}{l^2})[/math]
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