Area del rombo: formule, formule inverse e dimostrazioni

Nel seguente appunto vengono elencate, oltre alle proprietà caratteristiche del rombo, le formule più utilizzate per il calcolo della sua area, corredate di dimostrazione e di generalizzazioni ad essa relative. Sono presenti anche le formule inverse ricavabili dalle formule già citate sopra.

Proprietà del rombo

Il rombo è un quadrilatero con quattro lati uguali.

Questo particolare parallelogramma ha molte altre proprietà:

gli angoli opposti sono congruenti, ossia:

[math]\widehat {BCD}= \widehat {BAD} \ \ \ \text{e} \ \ \ \widehat { ABC }= \widehat { ADC }[/math]
• gli angoli adiacenti sono supplementari (cioè la loro somma è pari a
  [math]180^{\circ}[/math]
  )
• le diagonali sono bisettrici degli angoli interni e assi dell'altra diagonale
• le diagonali sono tra loro perpendicolari, cioè si incontrano formando angoli di
  [math]90^{\circ}[/math]
• quando le diagonali si intersecano si bisecano (poiché il rombo è un parallelogramma), cioè si dividono vicendevolmente a metà, ossia:
  
  [math]CO=OA \ \ \ \text{e} \ \ \ BO=OD[/math]

Essendo un parallelogramma, per il rombo valgono le stesse formule per il calcolo dell'area e del perimetro. Tuttavia, proprio grazie alle caratteristiche di questa figura, l'area del rombo può essere trovata anche sfruttando formule diverse da quelle che valgono per gli altri parallelogrammi.

Per ulteriori approfondimenti sui parallelogrammi vedi anche qua

Calcolo dell'area del rombo

La formula comunemente più usata è senza dubbio la seguente:

dove con

abbiamo indicato la diagonale maggiore del rombo e con quella minore (rispettivamente e nella figura).

Formula per il calcolo dell'area del rombo: dimostrazione 1

Dimostrare questa formula è molto semplice.
Partiamo disegnando due rette, passanti per e per , parallele e congruenti a . Analogamente, tracciamo due rette parallele e congruenti a e passanti per e per . Otteniamo così il rettangolo .

Sfruttando la congruenza dei segmenti evidenziati in figura possiamo mostrare facilmente la congruenza tra le coppie di triangoli:

Una volta osservato che questi triangoli sono congruenti, abbiamo dimostrato che il rettangolo occupa una superficie doppia rispetto a quella del rombo, quindi, possiamo determinare l'area del rombo partendo da quella del rettangolo e dividendola per due.
Per costruzione, però, la base del rettangolo ha la stessa misura della diagonale maggiore del rombo, mentre l'altezza corrisponde alla diagonale minore.
Pertanto l'area del rettangolo

è:

da cui segue la nostra formula dividendo per 2.

Tuttavia, come ogni formula, spesso esiste almeno un altro modo per dimostrarla. È proprio il caso, infatti, dell'area del rombo: vediamo di seguito una dimostrazione alternativa.

Formula per il calcolo dell'area del rombo: dimostrazione alternativa

Tracciamo le diagonali e del nostro rombo, che si intersecano nel punto , punto di bisezione di tali diagonali. Allora avremo le uguaglianze: e . Possiamo inoltre dire che e e scrivere l'area del rombo come somma delle aree di tutti e 4 i triangoli che si sono formati.
In sostanza: , che sono uguali, dato che l'area di un triangolo è pari a metà del prodotto tra base e altezza a: , come volevasi dimostrare.

Tale formula funziona, in generale, per qualsiasi quadrilatero dotato di diagonali perpendicolari. Supponiamo che un generico quadrilatero con le diagonali perpendicolari abbia due diagonali

e che su vengano tagliati due pezzi mentre su due pezzi dal punto di intersezione delle diagonali. L'area è allora pari, dato che il quadrilatero ha le diagonali perpendicolari, a , che corrisponde al semiprodotto delle diagonali del quadrilatero.

Altre formule per l'area del rombo

Oltre la formula delle diagonali abbiamo altri modi alternativi per calcolare l'area del rombo.

Se conosco il raggio del cerchio inscritto:

, dove è il lato del rombo e il raggio del cerchio inscritto.
In generale, per ogni quadrilatero circoscrivibile, il raggio della circonferenza inscritta è dato dal rapporto tra l'area e il suo semiperimetro, che nel caso del rombo è chiaramente pari alla metà di

[math]4l[/math]

ossia

[math]2l[/math]

.

NOTA: Osserviamo che tale cerchio può essere tracciato perché è soddisfatta la condizione di circoscrivibilità dei quadrilateri, cioè sono uguali le somme delle misure dei lati opposti.

Se conosco un angolo qualunque (e la trigonometria!):

, dove con è uno qualsiasi degli angoli interni, non importa quale, dato che due angoli supplementari hanno lo stesso seno è data dal semiprodotto dei lati per il seno dell'angolo compreso.Per approfondimenti su questa formula, vedi anche qua.

Dalle formule scritte sopra, possiamo ricavare anche le seguenti formule inverse.

• [math]D= \frac{2A}{d}[/math]
• [math]d= \frac{2A}{D}[/math]
• [math]l=\frac{A}{2r}[/math]
• [math]r=\frac{A}{2l}[/math]
• [math]l=\sqrt(\frac{A}{\sin(\alpha)})[/math]
• [math]\alpha= arcsin(\frac{A}{l^2})[/math]