Elettromagnetismo: campo elettrico generato da due cariche in un punto

In questo appunto di fisica si affronta un semplice esercizio sul campo elettrico generato da due cariche puntiformi immerse in un mezzo isolante e poste ad una data distanza. Useremo il Principio di sovrapposizione degli effetti per studiare la condizione di equilibrio e ricavare le grandezze richieste.

Dati del problema

Siano date due cariche e , incognita, poste in due punti del piano distinti, A e B rispettivamente, distanti L = 1,5m, ed immerse in un dielettrico il cui valore è .
In un punto C, compreso fra gli estremi del segmento AB, e tale che AC = 0,5m il campo elettrico è nullo.
(supponiamo che la carica si trovi in A alla sinistra dell’osservatore e la carica in B, alla destra dell’osservatore).
Quesito 1: trovare il valore di .
Quesito 2: se le due cariche fossero immerse nel vuoto, il campo elettrico sarebbe pari a zero nello stesso punto C?

Campo elettrico e Principio di Sovrapposizione degli Effetti

Data una qualunque carica Q, il campo elettrico che essa genera è dato in modulo dalla seguente espressione:
dove
= costante dielettrica nel vuoto
= costante dielettrica in un mezzo
R = distanza di un punto nello spazio dalla carica generatrice Q in cui si vuole conoscere il valore del campo elettrico
Le unità di misura sono riferite al Sistema Internazionale.
Poiché il campo elettrico è un campo vettoriale si deve definire anche la sua direzione (le linee di campo) ed il suo verso.
La direzione viene individuata da rette radiali che hanno come centro la carica generatrice Q chiamate linee di campo, mentre il verso dipende dal segno della carica Q.
Se la carica generatrice è positiva, le linee del campo elettrico saranno radiali uscenti, se è negativa saranno radiali entranti.
Osservando l’espressione che esprime il campo elettrico E si possono fare alcune osservazioni:

• il campo elettrico, a parità di distanza dalla carica generatrice, aumenta di intensità se aumenta il valore della carica che lo genera;
• il campo elettrico a parità di carica generatrice, diminuisce di intensità man mano che ci si allontana da questa, poiché è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla carica;
• il campo elettrico è costante su superfici sferiche aventi il centro nella carica generatrice;
• la costante k non dipende dalle cariche ma dal mezzo in cui queste sono immerse
.

Se si hanno più cariche in una stessa porzione di spazio i campi elettrici generati da ognuna di queste si sovrapporranno e si sommeranno vettorialmente. Ossia vale il Principio di Sovrapposizione degli Effetti:
date n cariche, ,..,, agenti nello spazio, il campo elettrico in un punto P dello spazio, avente distanza ,…, da ciascuna carica, si trova sommando vettorialmente i vettori campo elettrico in quel punto P, generati dalle varie cariche.
rispettando le regole per eseguire il calcolo vettoriale.

Quesito 1

Il campo elettrico generato dalla carica nel punto C è dato dalla seguente espressione:
dove
Essendo >0 (positiva) il verso delle linee campo del saranno uscenti dalla carica . Affinché in C in campo si annulli, il vettore , campo elettrico generato dalla carica , deve essere opposto ad : i campi devono essere opposti. Quindi possiamo asserire che la carica deve essere anch’essa di segno positivo, poiché in questo caso le sue linee di campo sono radiali uscenti e nel punto C il vettore è opposto al vettore .
Si noti che avremmo ottenuto un risultato corretto anche se le due cariche fossero state entrambe negative: in questo caso i vettori che individuano i due campi nel punto C, avrebbero avuto linee di campo uscenti, ma sempre versi opposti.
Il valore del campo elettrico in C generato dalla carica è dato da:
dove
= incognita
= 1,0m poiché = L - Fissato un verso di percorrenza sul segmento AB che fissa come positivo il verso che va da A verso B (ossia da a , ossia da sinistra verso destra, nel verso di lettura) avremo che ha segno positivo, mentre ha segno negativo.
Il campo elettrico nel punto C si ottiene da
= – Essendo
= 0
Si ha che
Sostituendo i valori numerici:
approssimando
Essendo
= AC = 0,5 m
= CB = 1,0 m

Quesito 2

Se le due cariche non fossero immerse in un dielettrico, il campo sarebbe ancora nullo nel punto C che dista 0,5m dalla carica Q_1, poiché la relazione di equilibrio non dipende dalla costante k che a sua volta dipende dal dielettrico = 1,8.
Come si può vedere dalla relazione che impone l’uguaglianza fra i moduli dei due campi elettrici:
questa relazione non dipende dalla costante
poiché si semplifica.
Il fatto che le due cariche siano immerse in un dielettrico influisce sull’intensità del campo che ciascuna carica crea.

Consideriamo la carica

ed il campo elettrico che essa genera in un punto P, distante R dalla carica stessa:
Supponiamo che sia immersa in un dielettrico ε_r.
Vediamo che la costante k
assume un valore minore rispetto al valore che avrebbe se la carica Q fosse immersa nel vuoto, ossia nel caso in cui
avremmo
con k’ > k
quindi il valore del campo elettrico E ottenuto in un punto P dello spazio in presenza di un dielettrico è minore del campo generato dalla stessa carica Q, ma immersa in un dielettrico.
Questo fenomeno si spiega poiché il dielettrico in presenza della carica (o delle cariche) si polarizza ed in seguito alla polarizzazione varia la forza di interazione fra le cariche (forza di Coulomb).
Tale forza essendo direttamente collegata alla definizione di campo elettrico, influisce sull’intensità dello stesso:
q = carica esploratrice
In particolare, se F è la forza agente fra le due cariche e poste nel vuoto ad una data distanza L, ed è la forza con cui le stesse due cariche, alla stessa distanza, interagiscono in un mezzo isolante (ossia in presenza di dielettrico)
il rapporto
descrive la costante
= costante dielettrica relativa del mezzo
.
E’ ovvio che se
allora
e si rientra nel caso in cui le cariche interagenti sono poste nel vuoto.

Per ulteriori approfondimenti su questo argomento vedi anche qua