Appunti degli studenti per corsi ed esami del Prof. Morigi Marta

Dal corso del Prof. M. Morigi

Panieri

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Contiene esercizi di Algebra lineare su: Matrici, Matrici associate, trovare basi, determinare se uno spazio è sottospazio di un altro, determinare il nucleo, la diagonalizzabilità ecc... Spiegati in modo semplice una ventina di esercizi passo passo e con immagini.

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Teorema della dimensione

Facoltà Ingegneria ii

Dal corso del Prof. M. Morigi

Appunti esame

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Spiegazione, dimostrazione e conseguenze dirette di uno dei teoremi più importanti dell'algebra lineare, utile per la dimostrazione del famoso teorema di Rouché-Capelli. La dimostrazione fa largo uso di concetti e proposizioni sulle applicazioni lineari, tra cui nucleo e immagine.

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Diagonalizzabilità: tutto ciò che c'è da sapere

Dal corso del Prof. M. Morigi

Appunti esame

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Un insieme completo di tutto ciò che interessa la diagonalizzabilità nell'algebra lineare: definizioni, spiegazioni, proposizioni con altrettante dimostrazioni e soprattutto tanti esercizi pratici su uno dei più intriganti e astratti concetti dell'algebra lineare. Nel dettaglio si discute di: - legame con autovettori; - legame con matrici diagonalizzabili; - lineare indipendenza di autovettori con autovalori distinti; - legame con autovalori; - legame con molteplicità algebrica e geometrica;

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Sottospazi generati

Dal corso del Prof. M. Morigi

Appunti esame

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Viene fornita una trattazione dettagliata dei concetti legati ai sottospazi generati in algebra lineare: definizione di sottospazio generato come l'insieme di tutte le combinazioni lineari di un dato insieme di vettori, e l'approfondimento della nozione di spazio vettoriale finitamente generato. Successivamente, vengono presentate alcune proposizioni, con relative dimostrazioni: il sottospazio generato sia il più piccolo sottospazio che contiene i vettori considerati; il sottospazio generato rispetta le proprietà di chiusura rispetto alla somma e al prodotto per scalari. Attraverso esempi concreti, si mostrano applicazioni pratiche di questi concetti negli spazi vettoriali R2 e R3, risolvendo sistemi lineari per identificare le combinazioni lineari dei vettori generatori. Infine, viene discussa l'importanza dell'indipendenza lineare per identificare il minimo insieme di vettori generatori e si esplorano diversi casi particolari di sottospazi generati in contesti specifici, come rette e piani.

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Determinante

Dal corso del Prof. M. Morigi

Appunti esame

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Viene trattato il concetto di determinante di una matrice quadrata, introdotto come una funzione definita da proprietà specifiche, la cui esistenza e unicità sono dimostrate. Viene sottolineata l'importanza del determinante nel determinare l'invertibilità di una matrice e nell'analizzare come l'applicazione lineare associata influisca su aree, volumi e iperspazi. Gli argomenti trattati includono: - Proprietà del determinante: una serie di corollari che descrivono il comportamento del determinante in base a manipolazioni delle righe di una matrice; - Calcolo del determinante: viene spiegato come il determinante possa essere calcolato in modo metodico attraverso l'algoritmo di Gauss, con esempi specifici per matrici 2x2 e 3x3; - Teoremi: vengono presentati vari teoremi collegati al determinante, tra cui il Teorema di Binet, che è cruciale per dimostrare l'invertibilità di una matrice, e il Teorema di Laplace, metodo standard per il suo calcolo; - Invertibilità di una funzione: viene approfondito il legame tra il determinante e l'invertibilità di una funzione lineare, dimostrando che l'invertibilità di una funzione è equivalente al fatto che il determinante della matrice associata sia diverso da zero; - Equivalenze: viene discusso un teorema importante che collega diverse proprietà di una matrice quadrata, dimostrando che condizioni come l'iniettività, la suriettività e l'indipendenza lineare delle colonne sono equivalenti alla non nullità del determinante.

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Cambio di base: spiegazione ed esempi pratici

Dal corso del Prof. M. Morigi