Esercizi di Algebra lineare - Matrici, vettori e spazi vettoriali

MATRICE ANTISIMMETRICA

Matrice avente a_ij = -a_ji, quindi a₂₁ = 2, quindi a₁₂ = -2 secondo la regola notiamo che, quando i=j (quindi diagonale principale), a_ii = -a_ii, quindi a_ii = 0. LA DIAGONALE È FATTA DI 0.

OPERAZIONI SU MATRICI

x*MATRICE = x moltiplicato PER OGNI ELEMENTO della matrice;

MATRICE +- MATRICE = devono essere DELLA STESSA DIMENSIONE (m₁ = m₂, n₁ = n₂, quindi matrice 2x5 + matrice 2x5 tipo) sottrai o sommi a₁₁+b₁₁, a₁₂+b₁₂, a_ij + b_ij = c_ij (quindi sommi gli elementi della stessa posizione e poni il risultato nella stessa posizione nella matrice risultante);

PRODOTTO TRA MATRICI

Matrici devono avere colonna della prima = righe della seconda (ovviamente anche viceversa in quanto il prodotto è commutativo), e il risultato avrà le righe e colonne corrispondenti ai valori "diversi" (quindi P è il numero in comune, mentre la dimensione del risultato è dato da n x m, ovvero le dimensioni)

pari (a33 3+3=6); se avessi preso il 3, dato che è nella posizione a21 2+1=3, avrei dovuto metterlo nella somma con segno cambiato (quindi -3(cofattore di 3))3) successivamente si CALCOLANO I DETERMNANTI DELLE MATRICI DEI COFATTORI (con la regola diprima, diagonale principale – diagonale secondaria) moltiplicati per gli elementi, e si somma tutto:

PROPRIETA’ DEI DETERMINANTI:

→ →se la matrice ha UNA COLONNA O RIGA DI ZERI DETERMINANTE = 0;

→ se DUE RIGHE/COLONNE PARALLELE sono UGUALI O PROPORZIONALI (hanno un rapporto del tipo →2-4, 3-6, 4-8, tipo l’uno il doppio dell’ altro, il triplo, il doppio cambiato di segno ecc…)DETERMINANTE = 0;

Vediamo come qui, moltiplicando per -2 tutti gli el della prima riga, esce l’ultima.

→ →se UNA LINEA E’ COMBINAZIONE LINEARE DI DUE RIGHE/COLONNE PARALLELEDETERMINANTE = 0;

Vediamo come qui, la somma della prima e della seconda, ci dà la terza.

ESEMPIO DI DETERMINANTE CON

MATRICE 4x4*si applica Laplace 2 volte, fino a quando non ho matrici 2x2.

MATRICE INVERSA (matrici sempre quadrate)

La matrice NON E’ INVERTIBILE SE DETERMINANTE =0.

A^-1 = matrice dello STESSO ORDINE DI A che, MOLTIPLICATA AD A, mi da la MATRICE IDENTITA’ (quella con solo gli uni nella diagonale principale e il resto zeri).

→trovo il determinante (+1) FACCIO IL COMPLEMENTO DI OGNI ELEMENTO DI A, ricordando il→cambio di segno in base alla posizione pari o dispari COSTRUISCO LA MATRICE TRASPOSTA DEI RISULTATI (quindi prendo le righe di risultati e le metto in colonna), costituendo la MATRICE AGGIUNTA DI A infine, la matrice inversa è costituita dagli ELEMENTI DELLA MATRICE AGGIUNTA DIVISI PER IL DETERMINANTE (in questo caso è uguale alla trasposta, in quanto il determinante è 1).

Si controlla il risultato vedendo se A^-1 * A è UGUALE ALLA MATRICE IDENTITA’.

RANGO DI UNA MATRICE è un NUMERO NATURALE. →Serve capire prima

Cos'è l'elemento speciale elemento non nullo sotto al quale ci sono tutti zeri (quindi se ho un n con uno zero sotto, ma un altro numero ancora più sotto, non abbiamo elemento speciale).

Il rango è il numero minimo di elementi speciali trovati all'interno di una matrice (in questo caso faccio il rango per righe, ma posso anche farlo per colonne, quindi guardando gli zeri a destra o a sinistra di un numero).

-1 ha 2 zeri sotto; 1 ha uno zero sotto; 5 ha infiniti zeri sotto, in quanto sotto la matrice è come se ci fossero infiniti zeri. Non ci interessa che anche il 2 abbia infiniti zeri, perché dobbiamo prendere il numero minimo.

Notare come in una matrice, ad esempio, 100 x 50, il rango massimo è 50, in quanto dobbiamo analizzare la dimensione minima essendoci 50 colonne analizziamo le colonne, e vediamo come se trovo un elemento speciale per colonna ho 50, non di più.

Il rango = 0 solo per le matrici nulle.

Se non ho elementi

SPECIALI?se non ho elementi speciali DEVO CREARMELI:

Il modo più facile per creare un ES (elemento speciale) qui è TRASFORMARE L'1 IN 0 (ricordiamo che per essere ES devono esserci solo zeri sotto, non almeno uno 0 sotto). →Devo MOLTIPLICARE L'ULTIMA RIGA PER 2 e la SOTTRAGGO ALLA PRIMA R'3 = 2R3 - R1:

Posso continuare a creare ES fino ad arrivare al massimo rango, moltiplicando ancora per 2 R'3:

Se andando avanti con i passaggi MI TROVO UNA RIGA DI ZERI, allora MI DEVO FERMARE:

Avere RANGO 3 significa che LE RIGHE/COLONNE SONO LINEARMENTE INDIPENDENTI (nessuna e Combinazione Lineare delle altre, non sono proporzionali, nessuna è nulla). →nella MATRICE D, infatti, la riga 1 + la riga 2 = riga 3, quindi è COMBINAZIONE LINEARE già ad occhio si poteva capire che non era rango 3.

RANGO DI MATRICI QUADRATE →Prima controllo SE IL DETERMINANTE E' != 0 il RANGO E' MASSIMO.

Se il DETERMINANTE = 0 rango non

è massimo.SE TROVO UN DETERMINANTE UGUALE A 0 come riconosco il rango?Individuo delle SOTTOMATRICI di n-1 FINO A CHE NON NE TROVO UNA CHE HA DETERMINANTE != 0→(quindi devo fare tante prove, in questo caso individuando diversi blocchi 2 x 2 nella matrice 3x3)il RANGO SARA’ UGUALE ALLA DIMENSIONE DELLA SOTTOMATRICE CON DETERMINANTE !=0 (quindiqui 2)SISTEMI LINEARII sistemi sono considerabili come MATRICI DI COEFFICIENTI e TERMINI NOTILa matrice A di coefficienti del sistema è la MATRICE INCOMPLETA, la matrice G è la MATRICEINCOMPLETA CON AGGIUNTI I TERMINI DOPO L’UGUALE (i termini noti), ed è la matrice COMPLETA.TEOREMA DI ROUCHE CAPELLIUn sistema lineare è POSSIBILE (ammette soluzioni) solo se IL RANGO DI MATRICE INCOMPLETA =RANGO DI MATRICE INCOMPLETA. →Se un sistema ha 1 soluzione = POSSIBILE E DETERMINATO è tale anche se IL RANGO DELLAMATRICE INCOMPLETA (che DEVE equivalere a quello della completa per essere possibile)

è = AL NUMERO DI INCOGNITE (quindi a m);

Se sistema non ha soluzioni = IMPOSSIBILE;

→Se un sistema ha più di una soluzione = INFINITE SOLUZIONI = POSSIBILE INDETERMINATO è tale anche se IL RANGO DELLA MATRICE INCOMPLETA è < DEL NUMERO DI INCOGNITE.

→Dato il sistema, COMPILO LA MATRICE COMPLETA TROVO IL RANGO (con il processo di riduzione → della matrice) controllo che il RANGO DELLA MATRICE COMPLETA SIA = ALLA MATRICE → INCOMPLETA se no, finito l’esercizio, se sì, CONTROLLO CHE IL RANGO SIA = O < DEL NUMERO → DELLE INCOGNITE (di m) confermato che sia maggiore, in quanto sappiamo già dal rango che il sistema è indeterminato, SOTTRAIAMO IL NUMERO DELLE INCOGNITE m AL RANGO, e troviamo il N → DI INCOGNITE LIBERE ora COSTITUIAMO UN SISTEMA USANDO LA MATRICE COMPLETA RIDOTTA (quindi quella in cui è stato fatto il controllo del rango, in questo caso quella avente tutti 0 come terza → riga da quel sistema.

PONIAMO DUE INCOGNITE COME LIBERE (va bene qualsiasi), quindi SCEGLIAMO LE NON LIBERE E LE ISOLIAMO (nel senso che le mettiamo da sole a sinistra dell'uguale, e vediamo a cosa sono uguali); in questo caso abbiamo scelto y e t come libere ora DIAMO UN VALORE A PIACIMENTO ALLE DUE LIBERE (in questo caso abbiamo dato 0), e DI CONSEGUENZA TROVIAMO LE DUE NON LIBERE il risultato è il vettore (x,y,z,t) in questo caso. *L'infinito con il 2 sopra NON E' INFINITO ALLA SECONDA si usa quel simbolo per intendere LE INFINITE SOLUZIONI RICAVABILI AVENDO DUE VARIABILI LIBERE (sappiamo infatti che, essendo possibile indeterminato, quel sistema ha più di una soluzione, quindi INFINITE SOLUZIONI). Il modo in cui va scritta la soluzione di un sistema lineare possibile indeterminato. MATRICI DIAGONALIZZABILIA e B (di stesso ordine n) si dicono matrici simili se esiste P quadrata di ordine n tale che P^-1 A P = B (P^-1 è l'inversa, quindi P deve avere

indeterminante != 0).Una matrice è DIAGONALIZZABILE se esiste una P che avendo P^-1 A P = Matrice DIAGONALE (nella diagonale principale ci sono elementi non tutti nulli, il resto sono 0)→Si TROVANO GLI AUTOVALORI (spiegato dopo) se endomorfismo (spiegato dopo) è SEMPLICE, quindi h!= 0,1,3 allora la matrice è DIAGONALIZZABILE se h = 0,1,2,3 allora devo STUDIARE GLI→AUTOVALORI noi abbiamo che ogni autovalore ha un vettore base associato linearmente indipendente, per cui se i 2 autovalori uguali hanno però distinti vettori, la matrice è diagonalizzabile;se i due autovalori uguali ammettono due vettori PROPORZIONALI, allora non è diagonalizzabile(perché la matrice non sarebbe invertibile).Qui è diagonalizzabile perché la MOLTEPLICITÀ ALGEBRICA (=2, perché ci sono 2 autovalori uguali) è →= alla MOLTEPLICITÀ GEOMETRICA per questa regola, ESISTE LA MATRICE P INVERTIBILE, quindi