Teorema della dimensione

V

con la dimensione dell'immagine di .

f f

Dimostrazione

Per semplicità, usiamo le proprietà algebriche delle equazioni e ci riduciamo a dimostrare

dim(V ) − dim(ker(f )) = dim(I(f ))

Supponiamo di avere una base di t.c. . La dimensione del kernel di ,

V dim(V ) = n f

supponendo di aver risolto il sistema lineare omogeneo associato alla matrice che definisce

A

l'applicazione lineare , sarà , dove è il numero di righe non nulle (pivot) di

L = f r ≤ n r A

A

ridotta a scala. Vale a dire che una base di sarebbe del tipo t.c.

ker(f ) {v , ⋯ , v }

1 r

. Sostituendo tali valori nell'equazione otteniamo che dobbiamo

f (v ) = ⋯ = f (v ) = 0

1 r –

dimostrare dim(I(f )) = n − r

Ora per il teorema del completamento possiamo completare la base di a una base di ,

ker(f ) V

ottenendo β = {v , ⋯ , v , v , ⋯ , v }

1 r r+1 n

Ora calcoliamo una base di , sapendo che vale la seguente proposizione

I(f ) I(f ) = ⟨f (v ), ⋯ , f (v )⟩

1 n

per cui dimostriamo che una base di è

I(f )

{f (v ), ⋯ , f (v )}

r+1 n

composta infatti da vettori.

n − r

Sappiamo, per ipotesi, che f (v ) = ⋯ = f (v ) = 0

1 r –

perché . Usando la proposizione sul sottospazio generato di , abbiamo

v , ⋯ , v ∈ ker(f ) I(f )

1 r I(f ) = ⟨0

, ⋯ , 0 , f (v ), ⋯ , f (v )⟩

r+1 n

– –

per cui possiamo eliminare tutti i vettori nulli (perché linearmente dipendenti da qualunque

[1]

vettore ), e ci rimane I(f ) = ⟨f (v ), ⋯ , f (v )⟩

r+1 n

per cui dobbiamo mostrare che sono linearmente indipendenti. Usiamo la

f (v ), ⋯ , f (v )

r+1 n

definizione: λ f (v ) + ⋯ + λ f (v ) = 0 ⟺ λ = ⋯ = λ = 0

r+1 r+1 n n r+1 n

–

Sfrutto allora la linearità di , e ottengo

f

f (λ v + ⋯ + λ v ) = 0 ⟺ λ = ⋯ = λ = 0

r+1 r+1 n n r+1 n

–

e perciò che v = λ v + ⋯ + λ v ∈ ker(f )

r+1 r+1 n n

Riscrivo allora questo vettore come combinazione lineare della base di :

ker(f ) {v , ⋯ , v }

1 r

v = μ v + ⋯ + μ v

1 1 r r

Ottengo la seguente uguaglianza

λ v + ⋯ + λ v = μ v + ⋯ + μ v

r+1 r+1 n n 1 1 r r

per cui λ v + ⋯ + λ v − μ v − ⋯ − μ v = 0

r+1 r+1 n n 1 1 r r –

il che è ovvio perché è base di , per cui sono linearmente indipendenti, e

v , ⋯ v , v , ⋯ , v V

1 r r+1 n

allora l'unica maniera affinché tale combinazione lineare sia uguale a è quando

0

–

λ = ⋯ = λ = μ = ⋯ = μ = 0

r+1 n 1 r

e in particolare λ = ⋯ = λ = 0

r+1 n

Ricapitolando abbiamo ottenuto che {f (v ), ⋯ , f (v )}

r+1 n

genera ed è linearmente indipendente, per cui è base di :

I(f ) I(f )

dim(I(f )) = n − r

Qed.

Utilità

Questo teorema risulta fondamentale nello svolgimento di esercizi in cui magari non viene

richiesto di conoscere il sottospazio generato dal nucleo né il sottospazio generato

dall'immagine, ma magari solo la loro dimensione: calcolando anche solo una delle due

dimensioni, per questo teorema ricaviamo immediatamente quella dell'altro.

Per esempio

per sapere se una certa è suriettiva ci basta avere che ;

f : V → W dim(I(f )) = dim(W )

per sapere se una certa è iniettiva ci basta avere che ;

f : V → W dim(ker(f )) = 0

Esempi

5 3

∄

f : R → R |f 1-1

Procediamo per assurdo, per cui supponiamo che tale funzione esista e sia iniettiva. Per

f

questo vorrebbe dire che . Il teorema della dimensione, allora, ci dice che deve

dim(ker(f )) = 0

valere 5

dim(R ) = dim(ker(f )) + dim(I(f ))

ovvero 5 = 0 + dim(I(f ))

Ma noi sappiamo che vive (è sottospazio) in , per cui la dimensione massima di è

3

I(f ) R I(f )

proprio 3; allora dovrebbe valere 5 = 3

che è un assurdo.

4 7

∄

f : R → R |f su

Procediamo sempre per assurdo, supponendo che tale funzione esista e sia suriettiva. Per

f

questo vuol dire che abbiamo , per cui per il teorema della dimensione

7

dim(I(f )) = dim(R )

vale 4 7

dim(R ) = dim(ker(f )) + dim(R )

ovvero 4 = dim(ker(f )) + 7

il che è impossibile, perché vorrebbe dire

dim(ker(f )) = −3

e la dimensione non può mai essere negativa, per cui assurdo.

Corollario

Limite all'iniettività

Sia t.c. , allora non è iniettiva.

n m

f : R → R n > m f

Limite alla suriettività

Sia t.c. , allora non è suriettiva.

n m

f : R → R n < m f

Iniettività suriettività

⟺

Siano spazi vettoriali tali che e sia lineare, allora

V , W dim(V ) = dim(W ) f : V → W

f 1-1 ⟺ f su

Dimostrazione

E' una conseguenza diretta del teorema del completamento, infatti si ha che se

, allora

dim(V ) = dim(W ) dim(V ) = dim(ker(f )) + dim(I(f )) = dim(W )

e allora:

è iniettiva f è suriettiva;

f ⟹ dim(ker(f )) = 0 ⟹ dim(V ) = dim(I(f )) = dim(W ) ⟹

è suriettiva

f

⟹ dim(I(f )) = dim(W ) ⟹ dim(V ) = dim(ker(f )) + dim(W ) = dim(W ) ⟹ dim(ker(f )) =