Determinante

B A A

delle altre righe allora det(A) = det(B)

;

3. se è una matrice triangolare superiore (o inferiore) allora è il prodotto degli

A det(A)

elementi che si trovano sulla sua diagonale principale;

Con queste 3 nuove regole, e con la 2° legge del determinante, riusciamo a determinare il

determinante di qualunque matrice usando semplicemente l'algoritmo di Gauss! Infatti

le operazioni di scambio di righe, moltiplicazione per scalare e somma di combinazione

lineare non sono altro che le operazioni elementari. Per cui fondamentalmente riducendo a

scala una qualunque matrice, e seguendo i passi del valore del determinante associato a

tale matrice, possiamo sempre ricavare il suo determinante, senza usare alcuna formula.

Calcolo

Proprio da quest'ultima osservazione si ottiene un calcolo metodico del determinante di una

matrice basato sull'algoritmo di Gauss.

2 × 2

Presa infatti una generica matrice definita come

A ∈ M (R)

2 a a

11 12

A = ( )

a a

21 22

la vogliamo ridurre a scala. Perciò ci basta avere al posto di . Applichiamo Gauss e

0 a 21

otteniamo a a

11 12

A = ( )

a 21

0 a − a

22 12

a 11

Ora sappiamo che è a scala, perciò è triangolare superiore: per la 3° conseguenza delle

proprietà del determinante sappiamo che non è altro che il prodotto degli elementi

det(A)

che si trovano sulla diagonale principale, ovvero

a 21

det(A) = a ⋅ (a − a ) = a a − a a

11 22 12 11 22 12 21

a 11

il che ci porta a concludere che il determinante di una qualunque matrice è

2 × 2

det(A) = a a − a a

11 22 12 21

3 × 3

Usando lo stesso ragionamento del caso si ottiene che il determinante di una

2 × 2

qualunque matrice è

3 × 3

det(A) = a a a + a a a + a a a − a a a − a a a − a a a

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

che si può ricordare facilmente usando la regola di Sarrus.

Formule

Nonostante il metodo con Gauss funzioni sempre, per matrici di ordine superiore al 3 viene

preferita la formula derivante dal teorema di Laplace.

Teoremi

Teorema di Binet

Proposizioni

Trasposta [1]

Le proprietà del determinante sulle righe valgono anche per le colonne , per cui vale che

T

det(A) = det(A )

ovvero che e la sua trasposta hanno lo stesso determinante.

A

Invertibilità di una matrice

Sia , allora si ha che

A ∈ M (R)

n A invertibile ⟺ det(A) ≠ 0

Dimostrazione

Primo verso dell'implicazione: supponiamo che sia invertibile, allora per ipotesi si ha che

A

∃B ∈ M (R) : AB = BA = I

n n

Per il teorema di Binet sappiamo che

det(AB) = det(A) det(B)

ma essendo , allora , per cui

AB = I det(AB) = det(I ) = 1

1 = det(A) det(B)

il che ci porta a concludere che per forza det(A) ≠ 0

Secondo verso dell'implicazione: supponiamo , allora per un teorema che non

det(A) ≠ 0

dimostriamo possiamo scrivere l'inversa di come

−1

A = A = B = (b )

ij

1 1 i+j

b = Γ = (−1) det(A )

ij ji ji

det(A) det(A)

ed essendo questa inversa esiste.

det(A) ≠ 0

Qed.

Invertibilità di una funzione

Sia un'applicazione lineare, e sia la matrice associata a rispetto alla

n n

f : R → R A f

base canonica di ( ), allora si ha che

n

R f = L A f invertibile ⟺ det(A) ≠ 0

e che l'inversa di ( ) è l'applicazione lineare associata ad .

−1 −1

f f A

Dimostrazione

⟹

Sia invertibile e quindi la sua inversa. Sia la matrice associata a ( ), allora non

f g B g g = L B

ci resta che mostrare che , perché questo implica per la proposizione

−1

B = A det(A) ≠ 0

precedente.

Sappiamo che g ∘ f = id

che per la composizione di applicazioni lineari equivale a dire

g(f (x)) = (BA)x = x

–

–

–

il che implica che BA = I

Ma sappiamo per ipotesi che anche f ∘ g = id

il che per lo stesso ragionamento di prima implica

AB = I

Nota bene: i due sono uguali perché va da a .

n n

id f R R

Avendo AB = BA = I

concludiamo per la definizione di matrice inversa che

−1

B = A

il che a sua volta implica det(A) ≠ 0

Osservazione: per dimostrare che si potrebbe semplicemente dimostrare ,

−1

B = A AB = I

senza verificare anche . Per Binet, infatti se per ipotesi vale , allora

BA = I AB = I

, il che implica , perciò è invertibile; allora

1 = det(I ) = det(AB) = det(A) det(B) det(A) ≠ 0 A

fissata come l'inversa di , abbiamo la seguente equivalenza:

−1

A A

−1 −1 −1 −1

AB = I ⟹ A AB = A I ⟹ IB = A ⟹ B = A ⟹ AB = BA = I

⟸

Assumiamo , perciò . Ora sia , ovvero l'applicazione lineare

−1

det(A) ≠ 0 ∃B = A g = L B

definita da questa . Dobbiamo mostrare che .

B g ∘ f = f ∘ g = id

Sappiamo che la matrice associata a è

g ∘ f −1

BA = A A = I

il che implica che g ∘ f = id

Sappiamo anche, analogamente, che la matrice associata a è

f ∘ g

−1

AB = AA = I

per cui