Cambio di base: spiegazione ed esempi pratici

B BA

Ora che abbiamo questa relazione, sapendo che dove è la matrice identità,

A = I I

ββ

immediatamente ricaviamo che non è che l'inversa di .

A A

cβ βc

Ci calcoliamo l'inversa di usando allora il metodo standard che usa l'algoritmo di Gauss

A βc

e otteniamo proprio .

A cβ

Formula

Sia lineare, e la matrice associata ad sulle basi canoniche

′

n m c

f : R → R A = M (f ) f

′

cc c

di dominio e codominio. Fissiamo base ordinata di e base ordinata di , allora

n ′ m

β R β R

si ha che −1

A = I ⋅ A ⋅ I = I ⋅ A ⋅ I

′ ′ ′ ′ ′

ββ c β cc βc cc βc

′ ′

β c

Si guardi infatti il seguente schema

Fondamentalmente se noi a ci aggiungiamo due funzioni identità tra le due basi e in

′

A β β

′

cc

modo da ottenere una e una , possiamo scrivere come la composizione di 3

I I L

′ ′

βc c β A ′

ββ

[1]

funzioni, e quindi come la moltiplicazione di 3 matrici .

A ′

ββ

Esercizio

Determinare se possibile un'applicazione lineare tale che:

3 3

f : R → R

ker(f ) = ⟨e + e + 2e ⟩ = ⟨(1, 1, 2)⟩

1 2 3

I(f ) = ⟨e − e , e + 7e ⟩ = ⟨(1, −1, 0), (0, 1, 7)⟩

1 2 2 3

quindi scrivere la matrice associata ad rispetto alla base canonica.

f

Per prima cosa controlliamo la compatibilità con il teorema della dimensione:

3 = dim(ker(f )) + dim(I(f )) = 1 + 2

Ora per costruire sfruttiamo i vincoli imposti su e . Sappiamo infatti che ,

f ker I f (1, 1, 2) = 0

–

allora ci creiamo una base di che contenga proprio , perché sappiamo dove è

3

R (1, 1, 2)

mappato. Per esempio prendiamo come base

β = {(1, 1, 2), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} = {v , v , v }

1 2 3

, che sappiamo essere base dal teorema GEL e Gauss. Quindi imponiamo le immagini dei

vettori della base in modo da far coincidere gli altri due vettori con i vettori

(0, 1, 0), (0, 0, 1)

che generano l'immagine (da vincolo), ovvero

--> così rispetta il

f (1, 1, 2) = (0, 0, 0) ker

--> così rispetta l'

f (0, 1, 0) = (1, −1, 0) I