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Trigonometria - Seni e Coseni scaricato 20 volte

LA TRIGONOMETRIA, COSENI E SENI

La goniometria o trigonometria è la branca della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli.

Gli angoli si misurano:
- in gradi, primi e secondi in un sistema Sissagesimale (60° gradi) che fu inventato dagli Assiri-Babilonesi.
- in radianti

Il radiante si introduce sulla circonferenza goniometrica, ovvero una circonferenza che ha raggio = 1, centro nell’origine degli assi, ed equazione

[math]x^2+y^2=1[/math]
. Questa misura dipende dalla circonferenza da cui prendo l’arco. Per rendere la misura dell’angolo indipendente dalla circonferenza, dividiamo l'arco per il raggio e in questo modo si perde la dimensionalità. Il risultato di questa operazione ci dice praticamente quante volte l’arco contiene il raggio. Rapportati al raggio, gli archi che sottendono lo stesso angolo sono uguali e quindi comparabili.

Il radiante è quindi definito come l’angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza. É una misura adimensionale relativa alla circonferenza.

Un angolo di 360° in radianti è uguali a

[math]\frac{2πr}{r}=2π\ Rad[/math]
.
La formula generale per passare da radianti ai gradi e viceversa è:
[math]2π\ :\ 360°\ =\ α\ : α°[/math]

Se l'angolo al centro interseca la circonferenza nel punto B, il COSENO (def.) = cos(α) = misura del segmento OH rapportato alla misura del raggio:

[math]\frac{OH}{OA}[/math]
. Dove H è la proiezione del punto B sull'asse delle x.
Visto che nella circonferenza goniometrica OA = raggio = 1, allora
[math]\cos⁡α = \frac{OH}{1}=OH[/math]
.

Per

[math]α=0[/math]
,
[math]\cos⁡α=1[/math]

Per

[math]α=\frac{\pi}{2}[/math]
,
[math]\cos⁡α=0[/math]

Per

[math]α=\pi[/math]
,
[math]\cos⁡α=-1[/math]

Per

[math]α=\frac{3\pi}{2}[/math]
,
[math]\cos⁡α=0[/math]

Per

[math]α=2\pi[/math]
,
[math]\cos⁡α=1[/math]

Partendo dal presupposto che

[math]\frac{OH}{OA}=cos[/math]
, la proiezione non può mai essere maggiore del raggio e quindi di 1, per cui:
[math]-1≤cos⁡≤1[/math]

Inoltre, il coseno è una funzione periodica con periodo = T che corrisponde a

[math]2π[/math]
(angolo giro).

In generale diciamo che

[math]cos⁡(α+2\pi)=cos⁡α[/math]
o meglio:
[math]cos⁡(α+2Kπ)=cos⁡α[/math]

Questa equazione definisce la periodicità della funzione coseno. K è una costante ed è un numero intero:

[math]K=0; ±1; ±2…[/math]
[math](K∈Z)[/math]
.
Se K è positivo il giro è antiorario, se invece è negativo il giro è orario.

La Cosinusoide è la curva che determina il valore del coseno in funzione dell’angolo α.
Il coseno assume valori decrescenti da 0 a π e valori crescenti tra π e 0 (o 2π)
Il coseno è positivo da 0 a 90° (π/2), negativo da 90° a 270° (π/2 - 3π/2) e di nuovo positivo da 270° a 360° (3π/2 - 2π).

Il SENO o sin⁡(α, in italiano sen⁡(((α, è la misura del segmento BH rapportato alla misura del raggio:

[math]\frac{BH}{OA}[/math]
. Nella circonferenza goniometrica, di raggio 1,
[math]\sin⁡α = \frac{BH}{1}=BH[/math]
.

Valgono i discorsi fatti fin’ora per il coseno, ma rapportati al segmento BH invece che al segmento OH.

Per

[math]α=0[/math]
,
[math]\sin⁡α=0[/math]

Per

[math]α=\frac{\pi}{2}[/math]
,
[math]\sin⁡α=1[/math]

Per

[math]α=\pi[/math]
,
[math]\sin⁡α=-0[/math]

Per

[math]α=\frac{3\pi}{2}[/math]
,
[math]\sin⁡α=-1[/math]

Per

[math]α=2\pi[/math]
,
[math]\sin⁡α=0[/math]

Partendo dal presupposto che

[math]\frac{BH}{OA}=sin[/math]
, la proiezione non può mai essere maggiore del raggio e quindi di 1, per cui:
[math]-1≤sin⁡≤1[/math]

Come per il coseno, inoltre, anche il seno è una funzione periodica con periodo = T che corrisponde a

[math]2π[/math]
(angolo giro).

In generale diciamo che

[math]sin⁡(α+2\pi)=sin⁡α[/math]
o meglio:
[math]sin⁡(α+2Kπ)=sinα[/math]
[math](K∈Z)[/math]
.

La Sinusoide è la curva che determina il valore del seno in funzione dell’angolo α.
Il seno assume valori crescenti 0 a π/2, valori decrescenti tra π/2 e 3π/2, e di nuovo valori crescenti tra 3π/2 e 0 (o 2π).
Il seno è positivo da 0 a π, e negativo π a 0.

Identità Fondamentale della Trigonometria

L’identità fondamentale permette di riscrivere il coseno in termini del seno e il seno in termini del coseno.

[math]cos^2 (α)+sin^2 (α)=1[/math]

Da cui si deriva che:

[math]sin^2 (α)=1-cos^2 (α)[/math]
e
[math]cos^2 (α)=1-sin^2 (α)[/math]

E quindi:

[math]sin(α)=±\sqrt{1-cos^2 (α)}[/math]
e
[math]cos(α)=±\sqrt{1-sin^2 (α)}[/math]

Ricordiamoci inoltre che

[math]cos^2 (α)≠cos⁡α^2[/math]
in quanto
[math]cos^2 (α)=cos⁡α∙cos⁡α[/math]
e
[math]cos⁡α^2=cos⁡ (α∙α)[/math]
.
Seno e coseno sono assumo sempre valori <1 quindi anche elevati al quadrato danno necessariamenti valori <1.

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