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Per comprendere meglio tali concetti viene prima proposto un ripasso di alcuni elementi come l'angolo, il grado, il radiante e la circonferenza goniometrica.
La trigonometria: gli angoli e la loro misura
La goniometria o trigonometria è la branca della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli.
Un angolo è la porzione di piano compresa tra due semirette aventi l’origine in comune; le semirette prendono il nome di lati mentre l’origine in comune prende il nome di vertice.
Si può immaginare come a seconda di come si posizionano le due semirette si può avere un angolo che comprende una porzione maggiore o minore di piano.
La misura di tale porzione di piano viene definita ampiezza dell’angolo.
L’ampiezza di un angolo si misura in:
- gradi, primi e secondi in un sistema Sessagesimale (60° gradi) che fu inventato dagli Assiri-Babilonesi.
- radianti
Il radiante si introduce sulla circonferenza goniometrica, ovvero una circonferenza che ha raggio=1, centro nell’origine degli assi ed equazione
Consideriamo un angolo di cui vogliamo misurare l’ampiezza, consideriamo ora una circonferenza con centro nel vertice dell’angolo; possiamo immaginare come la misura dell’arco dipende dalla circonferenza che considero (più grande è la circonferenza e più sarà lungo l’arco sotteso dall’angolo considerato).
Per rendere la misura dell’angolo indipendente dalla circonferenza, dividiamo l'arco per il raggio e in questo modo si perde la dimensionalità. Il risultato di questa operazione ci dice praticamente quante volte l’arco contiene il raggio.
Rapportati al raggio, gli archi che sottendono lo stesso angolo sono uguali e quindi comparabili.
Il radiante è quindi definito come l’angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza. É una misura adimensionale relativa alla circonferenza.
Un angolo di 360° in radianti è uguale a
La formula generale per passare da radianti ai gradi e viceversa è:
Per ulteriori approfondimenti su come esprimere un angolo in gradi, primi e secondi vedi anche qua
La trigonometria: coseno e seno
Se l'angolo al centro interseca la circonferenza nel punto B, il coseno (def.) = cos(α) = misura del segmento OH rapportato alla misura del raggio:
Dove H è la proiezione del punto B sull'asse delle x.
Visto che nella circonferenza goniometrica OA = raggio = 1, allora
La funzione coseno ci permette quindi di trovare il valore dell’ordinata del punto che si sta considerando sulla circonferenza goniometrica; per calcolare il valore del coseno in alcuni punti speciali può essere utile disegnare una circonferenza goniometrica, individuare la posizione del punto per cui si vuole calcolare il coseno e analizzare il valore che potrebbe avere la sua ordinata.
In seguito riportiamo i valori del coseno di alcuni angoli:
Per
Per
Per
Per
Per
Partendo dal presupposto che
Inoltre, il coseno è una funzione periodica con periodo = T che corrisponde a
In generale la periodicità può essere espressa dicendo che
o meglio:
Questa equazione definisce la periodicità della funzione coseno.
K è una costante ed è un numero intero:
Se K è positivo il giro è antiorario, se invece è negativo il giro è orario.
La cosinusoide è la curva che determina il valore del coseno in funzione dell’angolo α.
Il coseno assume valori decrescenti da 0 a π e valori crescenti tra π e 0 (o 2π)
Il coseno è positivo da 0 a 90° (π/2), negativo da 90° a 270° (π/2 - 3π/2) e di nuovo positivo da 270° a 360° (3π/2 - 2π).
Il seno o sin(α), in italiano sen(α)), è la misura del segmento BH rapportato alla misura del raggio:
Nella circonferenza goniometrica, di raggio 1,
Valgono i discorsi fatti fin’ora per il coseno, ma rapportati al segmento BH invece che al segmento OH.
Per
Per
Per
Per
Per
Partendo dal presupposto che
Come per il coseno, inoltre, anche il seno è una funzione periodica con periodo = T che corrisponde a
In generale diciamo che
o meglio:
La sinusoide è la curva che determina il valore del seno in funzione dell’angolo α.
Il seno assume valori crescenti 0 a π/2, valori decrescenti tra π/2 e 3π/2, e di nuovo valori crescenti tra 3π/2 e 0 (o 2π).
Il seno è positivo da 0 a π, e negativo π a 0.
Identità fondamentale della trigonometria
L’identità fondamentale permette di riscrivere il coseno in termini del seno e il seno in termini del coseno e afferma che:
L’identità sopra riportata deriva dal fatto che si sta considerando un punto sulla circonferenza goniometrica e dato che tale circonferenza ha la caratteristica di avere il raggio unitario, si ha che la distanza di tale punto dall’origine degli assi deve essere 1. Se si utilizza la formula per la distanza tra due punti si può facilmente dimostrare l’identità fondamentale della trigonometria.
Da tale relazione si deriva che:
E quindi:
Ricordiamoci inoltre che
Seno e coseno assumo sempre valori <1 quindi anche elevati al quadrato danno necessariamente valori <1.
Per ulteriori approfondimenti sulla distanza tra due punti vedi anche qua
2 π :360 °=α : α ° ^
Per esempio, se ho un angolo di 60° che corrisponde all’arco e voglio misurare tale
AB
angolo in radianti: ^
2 πr ∙ 60 ° 2 πr πr AB π
^ ^
⇒ = = =
AB :60 °=2 πr :360 ° AB= → rad .
360 ° 6 3 r 3
I principali angoli in radianti sono:
Gradi = Gradi = Gradi =
Radianti Radianti Radianti
π π π
30° 45° 60°
6 4 3
π π 2 π
90° 180° 360°
2
2 5 3
π π π
120° 150° 270°
3 6 2
Un angolo di 225° per esempio sarebbe:
2 π ∙ 225 ° 5
=
2 π :360 °=α :225 ° → α= π
360 ° 4
oppure si potrebbe anche scomporre:
π 5
+45° =π + =
225=180 ° π
4 4 Come abbiamo detto, la circonferenza goniometrica è
2 2
descritta dall’equazione: e ha raggio = 1.
+ =1
x y
^ e la proiezione di
AB ≡ α
B è funzione di α.
Il COSENO (def.) = cos(α) =
misura del segmento OH
rapportato alla misura del
´ ´
raggio: .
/
OH OA ´
Visto che nella circonferenza goniometrica ,
OA=1
´ ´
=¿ /1=
α OH OH
allora .
¿
cos
Casi Particolari:
⇒
=0
α cos α=1
1) Perchè OH coincide con il raggio.
π ⇒cos
= =0
α α
2) 2
Perchè la proiezione, BH, cade all’origine degli assi, nello O.
⇒
=π =−1
α cos α
3) Perchè BH coincide con il raggio nella parte negativa dell’asse delle x.
3 ⇒
= =0
α π cos α
4) 2
Perchè la proiezione BH coincide con la parte negativa dell’asse delle y e cade
nell’origine.
⇒cos
=2 =1
α π α
5) Perchè OH coincide con il raggio.
´ ´
Partendo dal presupposto che , la proiezione non può mai essere maggiore
/ =cos
OH OA
del raggio e quindi di 1, per cui: −1 ≤ cos ≤1
Inoltre, il coseno è una funzione periodica con periodo = T che corrisponde a 2π (angolo
giro). Infatti, per esempio:
⇒cos
=2 + /2 /2
(come per )
α π π α=0 π
⇒cos
=2 + (come per )
α π π α=−1 π
( )
+2 =cos
cos α π α
In generale diciamo che ovvero:
( )=cos
+2
cos α Kπ α
Questa equazione definisce la periodicità della funzione coseno. K è una costante ed è un
∈
K=0; ± 1 ;± 2 …( K Z)
numero intero: .
Se K è positivo il giro è antiorario, se invece è negativo il giro è orario.
La COSINUSOIDE è la curva che
determina il valore del coseno in
α
funzione dell’angolo .
Il coseno assume valori decrescenti da
0 a π e valori crescenti tra π e 0 (o 2π)
Il coseno è positivo da 0 a 90° (π/2),
negativo da 90° a 270° (π/2 - 3π/2) e di
nuovo positivo da 270° a 360° (3π/2 -
2π).
Calcoliamo il valore numerico di alcuni coseni:
=30 =π /6
α °; cos 30°
In questo caso ci accorgiamo che il coseno di 30° non è altro che l’altezza di un
triangolo equilatero di cui OB è il lato o BH è mezzo lato. Per le proprietà dei triangoli
√
equilateri, quindi:
h=( L 3)/2
´ √ √
OB 3 3
´ = =
cos 30 °= OH 2 2
=60 =π /3
α ° ; cos 60°
In questo caso ci accorgiamo che il coseno di 60° non è altro che la metà del lato di un
triangolo equilatero di cui OB è il lato intero o BH è l’altezza. Quindi semplicemente:
´
OB 1
´ = =
cos 60 °= OH 2 2
=45 =π /4
α ° ; cos 45 °
In questo caso ci accorgiamo che il coseno di 45° non è altro che il lato di un quadrato
di cui OB è diagonale. Per la proprietà dei quadrati, a partire dalla diagonale
√ quindi:
/
L=d 2 ´ √ √
OB 1 2 2
´
= = = =
cos 45° OH ∙
√ √ √ 2
2 2 2 ´
) (α )
sin(α sen
Il SENO o , in italiano , è la misura del segmento rapportato alla
BH
´ ´
misura del raggio: . Nella circonferenza goniometrica, di raggio 1,
/
BH OA
´ ´ .
= /1=
sinα BH BH ´
Valgono i discorsi fatti fin’ora per il coseno, ma rapportati al segmento invece che
BH
´
al segmento quindi:
OH
α = sin α = sin
α α 1
0 0 /6
π 2
/
π 2 1 √
π 2
0 /
π 4 2
/2
3 π -1 √ 3
/
π 3
π
2 0 2
´ ´
Partendo dal presupposto che , la proiezione non può mai essere maggiore
/ =sin
BH OA
del raggio e quindi di 1, per cui anche per il seno vale la condizione:
−1 ≤ sin ≤1
Come per il coseno, inoltre, anche il seno è una funzione periodica con periodo = T che
corrisponde a 2π (angolo giro). Infatti, per esempio:
⇒sin
=2 + /2 =1 /2
(come per )
α π π α π
⇒sin
=2 + =0 (come per )
α π π α π
( )=sin ( )=sin
+2 +2
sin α π α sin α Kπ α
In generale diciamo che ovvero:
La SINUSOIDE è la curva che determina il
valore del seno in funzione dell’angolo
α .
Il seno assume valori crescenti 0 a π/2,
valori decrescenti tra π/2 e 3π/2, e di
nuovo valori crescenti tra 3π/2 e 0 (o 2π).
Il seno è positivo da 0 a π, e negativo π a
0.
.
Identità Fondamentale della Trigonometria
L’identità fondamentale permette di riscrivere il coseno in termini del seno e il seno in
termini del coseno.
2 2
( )+ ( )=1
cos α sin α
Infatti: ascissa e ordinata del punto B
( ) ( )
´ ´
2 2
OH BH ´ ´
2 2 2 2 2 2
( )+ ( )= + = + =x + =1
cos α sin α OH BH y
´ ´
OA OA eq. circonferenza goniometrica
Da cui si deriva che: 2 2 2 2
( ) ( ) ( )=1−sin ( )
e
=1−cos
sin α α cos α α
E quindi: √ √
2 2
e
( )=± ( ) ( )=± ( )
sin α 1−cos α cos α 1−sin α
2 2 2
( ) ( )=cos
Ricordiamoci inoltre che in quanto e
cos α ≠ cos α cos α α ∙cos α
2 .
=cos
cos α α ∙ α
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