Trapezio rettangolo - Caratteristiche e formule

Appunto di geometria piana sul quadrilatero trapezio rettangolo con definizione e caratteristiche. Si prosegue con la classificazione dei trapezi in base ai lati, e si esamina un caso particolare del trapezio rettangolo con altezza e base maggiore in funzione della base minore con formula ridotta. L’appunto contiene la spiegazione della formula per il calcolo dell'area e relative inverse, per finire alcuni esempi di applicazione del teorema di Pitagora

Generalità sui Trapezi

Si dice trapezio un quadrilatero che ha due lati paralleli. Questi due lati paralleli sono definiti basi del trapezio, il più lungo dei due è denominato base maggiore, il più corto è la base minore. Per convenzione si usano rispettivamente le lettere B maiuscolo per la base maggiore e b minuscolo per la base minore. Il segmento perpendicolare ad entrambe le basi ne misura la distanza e si chiama altezza del trapezio indicata generalmente con H maiuscolo. I lati che congiungono le due basi sono definiti lati obliqui e vengono indicati con ed . I segmenti AC e BD (come in figura allegata) sono le diagonali, ciascuna di esse divide il trapezio in due triangoli. Esistono diversi tipi trapezi che sono classificati in base ai loro lati obliqui, il trapezio è detto scaleno se ha i lati obliqui non congruenti, è detto isoscele quando i lati obliqui sono congruenti ed è rettangolo quando uno dei lati obliqui è perpendicolare ad entrambe le basi. Questa è la caratteristica che permette di identificarlo subito. In questo poligono uno dei due lati obliqui coincide perciò con l'altezza. Per disegnare un trapezio rettangolo basta tracciare quindi due rette parallele poste a distanza H, sulle due rette parallele ci saranno la base maggiore e la base minore. Si tracciano poi due rette trasversali che devono intersecare le due parallele: una sarà perpendicolare ad entrambe le basi e perciò conterrà l'altezza H, ed una sarà inclinata di un angolo rispetto alla retta contenente la base maggiore, su questa si troverà il lato obliquo. L’allegato contiene una figura che illustra un generico trapezio rettangolo con tutti gli elementi indicati:

• base maggiore:
  [math]AB=B[/math]
• base minore:
  [math]CD=b[/math]
• altezza:
  [math]AD\cong CH=h[/math]
• lato obliquo non perpendicolare alle basi:
  [math]BC=l[/math]
• diagonali:
  [math]AC, BD[/math]

Proprietà generali dei trapezi

Due sono le proprietà valide per tutti i trapezi

• In ogni trapezio gli angoli che sono adiacenti ad uno stesso lato obliquo sono tra loro supplementari ovvero la loro somma equivale ad un angolo piatto. I lati obliqui appartengono alle due trasversali che attraversano le rette parallele delle basi perciò gli angoli adiacenti ad essi, sono coniugati interni e quindi supplementari.
• In ogni trapezio le due diagonali si intersecano e formano sempre segmenti proporzionali, per il trapezio isoscele le diagonali sono congruenti e il punto di intersezione è esattamente il punto medio di entrambe si dice infatti che le diagonali si dividono scambievolmente a metà.
Detto M il punto di intersezione delle due diagonale vale perciò la seguente proporzione:
[math]AM:MC=BM:MD[/math]
.

Area del trapezio rettangolo, la formula

La formula dell’area del trapezio deriva da una equivalenza di superfici. Un trapezio è equivalente, infatti, ad un triangolo che ha la stessa altezza H del trapezio e per base b la somma delle basi del trapezio stesso. Data questa equivalenza, la formula dell'area, come quella di un triangolo è il semiprodotto della somma delle basi per l’altezza:
[math]A_{triangolo}=\frac{b\cdot h}{2}[/math]
[math]A_{trapezio}=\frac{\left(B+b\right)\cdot h}{2}[/math]
Le formule inverse dell’area permettono poi di ricavare la somma delle basi conoscendo il valore dell'area e l'altezza:
[math]B+b=\frac{2A}{h}[/math]
oppure ricavare l'altezza se è nota l'area e la somma delle basi
[math]h=\frac{2A}{(B+b)}[/math]
e infine ricavare singolarmente ciascuna base conoscendo l’altra oltre che area ed altezza:
[math]B=\frac{2A}{h}-b[/math]
[math]b=\frac{2A}{h}-B[/math]

Trapezio rettangolo particolare

Un caso particolare di trapezio rettangolo si presenta quando la base minore è congruente all'altezza e la base maggiore e il doppio della base minore. In questo caso il trapezio rettangolo risulta formato dall’unione di due poligoni regolari: un quadrato che ha il lato uguale alla base minore e un triangolo rettangolo isoscele i cui cateti sono sempre congruenti alla base minore. Facendo riferimento alla figura in allegato, in questo caso particolare, accade che:
[math]AK=KB=AD=CD=CK=b[/math]
Volendo calcolare l’area per questo trapezio insolito, è sufficiente conoscere una sola dimensione, la base minore b. L’area del trapezio è data infatti dalla seguente formula ridotta:
[math]A=b^2+\frac{b^2}{2}=\frac{3b^2}{2}[/math]

Applicazioni numeriche con il teorema di Pitagora

Come trovare il lato obliquo, note le basi e l’altezza del trapezio rettangolo. Esempio 1 Di un trapezio rettangolo in A, sono note le misure della base maggiore AB, della base minore CD, e dell’altezza AD. Si chiede di calcolare la misura del lato obliquo BC. Svolgimento Tracciando l’altezza CH, congruente ad AD, si ottiene un triangolo rettangolo CHB. I due cateti sono rispettivamente l’altezza CH e la proiezione di BC sulla base maggiore, cioè HB. L’ipotenusa è il lato BC di misura incognita. Applicando il teorema di Pitagora è possibile ricavare questo lato. Usiamo i seguenti simboli per semplicità:
• [math]AB=B[/math]
• [math]BC=b[/math]
• [math]AD=h[/math]
• [math]BC=l[/math]
• [math]c_1=CH\cong AD=h[/math]
• [math]c_2=HB=AB-CD=B-b[/math]
• [math]d_1=AC[/math]
• [math]d_2=BD[/math]
In un triangolo rettangolo qualsiasi, per il teorema di Pitagora abbiamo:
[math]I=\sqrt{c_1^2+c_2^2}[/math]
sostituiamo in base alle posizioni fatte sopra:
[math]I=\sqrt{h^2+\left(B-b\right)^2}[/math]
Esempio 2 Trovare la misura di una base conoscendo una diagonale e l’altezza. Per la base minore, deve essere nota la diagonale
[math]d_1[/math]
che equivale all’ipotenusa del triangolo rettangolo AHC, in tal caso:
[math]b=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{d_1^2-h^2}[/math]
Per la base maggiore, deve essere nota la diagonale
[math]d_2[/math]
che equivale all’ipotenusa del triangolo rettangolo ABD, in tal caso si ha:
[math]B=\sqrt{BD^2-AD^2}=\sqrt{d_2^2-h^2}[/math]
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