Proprietà transitiva - Definizione ed esempi

In questo appunto viene descritta in modo dettagliato la proprietà transitiva, vengono inoltre forniti degli esempi che facilitano la comprensione in cui tale proprietà è valida e altri in cui tale proprietà non è valida.

La proprietà transitiva: definizione

Per definire la proprietà transitiva è necessario definire alcune ipotesi: consideriamo 3 elementi (elemento a, b e c), la proprietà transitiva afferma che se esiste una relazione tra l’elemento a e l’elemento b ed esiste la stessa relazione tra l’elemento b e l’elemento c allora si può affermare che tale relazione esiste anche tra l’elemento a e l’elemento c.

La proprietà transitiva: uguaglianza

Per comprendere meglio la proprietà transitiva consideriamo la relazione di uguaglianza.
La relazione di uguaglianza è un tipo di proprietà che gode della proprietà transitiva.
Ripercorriamo quindi le ipotesi che sono state descritte nella definizione e trascriviamo il significato della proprietà transitiva nel caso della relazione di uguaglianza.

Consideriamo sempre i 3 elementi generici indicati con le lettere a,b e c.

Le ipotesi della proprietà transitiva affermano che se esiste una relazione tra a e b (quindi nel caso dell’uguaglianza si ha che se a=b) e se esiste la stessa relazione tra b e c (b=c) allora si può affermare che esiste una relazione tra a e c, perciò si può affermare che:
a=c
Perciò si avrà che a=b=c

Tale proprietà dell’uguaglianza si può utilizzare per qualsiasi tipo di elemento considerato, in seguito riportiamo qualche esempio.
Consideriamo ad esempio alcuni elementi geometrici quali ad esempio gli angoli e i lati di una figura.
Molto spesso in geometria è utile definire delle relazioni tra gli elementi di una figura, dato che molto spesso non è possibile definire una relazione diretta tra i due elementi scelti, è molto utile ricorrere alla proprietà transitiva per creare delle uguaglianze tra coppie di elementi. Combinando tali coppie di uguaglianze è poi possibile verificare l’uguaglianza di due determinati elementi.

Generalmente in geometria non si parla di uguaglianza ma si parla più propriamente di congruenza, questo perché molto spesso due elementi sono caratterizzati dall’avere ad esempio la stessa lunghezza, la stessa ampiezza o la stessa area ma non sono propriamente la stessa figura perché sono due elementi distinti.

Si può affermare che anche la relazione di congruenza (generalmente indicata con il simbolo

) gode della proprietà transitiva perciò possiamo affermare che:
Se

e se

Allora:

Se consideriamo ad esempio un triangolo e in qualche modo riusciamo a dimostrare che l’angolo a è congruente all’angolo b e che l’angolo b è congruente all’angolo c, scritto sotto forma di espressione matematica si ha che se:

Allora dato che la congruenza gode della proprietà transitiva possiamo affermare direttamente che:

Tale procedimento può essere utilizzato anche per dimostrare la congruenza tra lati, tra triangoli e tra molti elementi o figure geometriche.
Per ulteriori approfondimenti sui criteri di congruenza dei triangoli vedi anche qua

Proprietà transitiva: esempio

Riportiamo in seguito un esempio in cui è valida la proprietà transitiva e un secondo esempio in cui non è valida.

Consideriamo inizialmente la relazione di parentela di fratello o sorella e proviamo a comprendere se tale relazione rispetta la proprietà transitiva.
Iniziamo considerando le ipotesi per cui Marco è il fratello di Luca e consideriamo inoltre l’ipotesi secondo cui Luca è fratello di Filippo.
Se la relazione considerata godesse della proprietà transitiva allora si potrebbe affermare che Marco è il fratello di Filippo.
Dato che è plausibile affermare che se Marco e Luca sono fratelli e se Luca e Filippo sono fratelli allora lo saranno anche Marco e Filippo si può affermare che la relazione di parentela considerata gode della proprietà transitiva.

Proviamo ora a dimostrare se la proprietà transitiva è valida anche nel caso della relazione di padre e figlio.
Iniziamo considerando che Marco è il padre di Giacomo mentre Giacomo è il padre di Giovanni.
Se la relazione considerata godesse della proprietà transitiva allora si potrebbe affermare che Marco è il padre di Giovanni.
In questo caso però Marco non è il padre di Giovanni, sarebbe più corretto affermare che Marco è il nonno di Giovanni.
Possiamo quindi affermare che la relazione considerata non gode della proprietà transitiva.

Altri esempi nei quali può essere valida o meno la proprietà transitiva sono quelli nei quali si considerano delle rette. Si può verificare come la relazione di uguaglianza tra rette goda della proprietà transitiva, anche la relazione di parallelismo tra rette rispetta tale proprietà mentre ad esempio la relazione di perpendicolarità non la rispetta (se la retta a è perpendicolare alla retta b e se la retta b è perpendicolare alla retta c allora si avrà che le rette a e c non sono perpendicolari ma risultano essere parallele).

Esistono molti casi nei quali la proprietà transitiva è valida ma ne esistono altrettanti in cui tale proprietà non è valida, perciò, prima di utilizzarla è necessario verificare la validità di tale proprietà.
Per ulteriori approfondimenti sulle posizioni reciproche tra le rette vedi anche qua