Diagonale di un cubo: definizione, regole ed esempi

In questo appunto analizzeremo il cubo , cioè una delle figure solide più semplici: un poliedro con sei facce tutte uguali, in particolare ne analizzeremo le caratteristiche principali ed enunceremo le formule utili per calcolare la lunghezza delle sue componenti, in particolare quelle per ricavare la lunghezza della diagonale.

Il cubo e la sua diagonale

In questo paragrafo, dopo una piccola introduzione generale sul cubo, vedremo quali sono le formule che consentono di calcolare la lunghezza della diagonale, sia partendo dallo spigolo che da altri tipi di dati.

Il cubo è un poliedro con sei facce quadrate, tutte uguali.

Possiede, appunto,

facce,

vertici e

spigoli.
Una delle particolarità del cubo è che tutte le sue grandezze caratteristiche, come l’area laterale, l’area totale, il volume si ottengono da un solo elemento: la lunghezza del suo spigolo.

Quando parliamo di diagonale di un cubo, intendiamo uno dei segmenti che unisce due vertici di un cubo non appartenenti alla stessa faccia. Occorre stare attenti, perché talvolta si confonde la diagonale del cubo con la diagonale di uno qualsiasi dei quadrati che costituiscono le sue facce.
La diagonale, invece, attraversa da parte a parte il cubo, unendo due facce differenti.
La formula per calcolare la diagonale

di un cubo di spigolo

è uguale a:

Diamo adesso una spiegazione di questa formula.
Ci è utile ricordare il teorema di Pitagora: la diagonale del cubo, infatti, può essere vista come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, avente come cateto minore lo spigolo del cubo

e come cateto maggiore la diagonale d di una delle facce quadrate del cubo.

In simboli, si ha:

Ricordando che la diagonale

di un quadrato è pari a

, dove

è la lunghezza del lato del cubo, si ottiene che:

Come abbiamo detto all’inizio, tutte le componenti del cubo si possono calcolare a partire dalla lunghezza dello spigolo

, ed è anche il caso di questa formula.

Tuttavia, in alcuni casi può essere utile calcolare la lunghezza della diagonale del cubo senza passare per lo spigolo: per esempio, quando si conoscono la superficie laterale, la superficie totale, il raggio della sfera inscritta o il raggio di quella circoscritta.

Ecco le formule nel dettaglio:

1. Diagonale del cubo conoscendo lo spigolo
   [math]L[/math]
   :
   [math] D = \sqrt{3} \cdot L [/math]
2. Diagonale del cubo conoscendo l’area totale
   [math]A_{tot}:\sqrt{\frac{A_{tot}}{2}} [/math]
3. Diagonale del cubo conoscendo l’area laterale
   [math]A_l[/math]
   :
   [math] \frac{A_l \cdot \sqrt{3}}{2} [/math]
4. Diagonale del cubo conoscendo il raggio della sfera inscritta
   [math] r[/math]
   :
   [math] 2 \sqrt{3} r [/math]
5. Diagonale del cubo conoscendo il raggio della sfera circoscritta
   [math] R [/math]
   :
   [math] D = 2R[/math]

Per ulteriori approfondimenti sul cubo vedi anche qua

Problemi svolti che coinvolgono la diagonale di un cubo

In questo paragrafo vedremo insieme lo svolgimento di alcuni problemi di geometria solida riguardanti il cubo nei quali la lunghezza della diagonale è l’incognita del problema oppure compare tra i dati.

• Problema 1
  Calcola la misura della diagonale ed il volume di un cubo avente l’area di una delle sue facce pari a
  [math]144 cm^2[/math]
  .

  Svolgimento:
  Dai dati del problema conosciamo l’area di una delle facce del cubo.
  Ciascuna delle facce è un quadrato: per conoscere lo spigolo, basta calcolare la radice quadrata dell’area:
  

  [math] L = \sqrt{144} = 12 cm^2 [/math]

  A questo punto, noto lo spigolo, è molto semplice calcolare sia la diagonale

  [math]D[/math]
  che il volume
  [math]V[/math]
  :
  
  [math] D = \sqrt{3} L [/math]
  [math] V = L^3 = 12^3 = 1728 cm^3 [/math]
• Problema 2
  La diagonale di una delle facce di un cubo misura
  [math] 35,35 decimetri[/math]
  .
  Calcola la lunghezza della diagonale del cubo.

  Svolgimento:
  Bisogna prestare attenzione alla traccia di questo problema. Nei dati, infatti, è citata una diagonale, ma non si tratta della diagonale del cubo, bensì della diagonale di uno dei quadrati che costituiscono le facce del cubo.

  Partiamo proprio dalla misura di questa diagonale d per trovare la misura dello spigolo

  [math]L[/math]
  del cubo:
  
  [math] L = \frac{d}{\sqrt{2}} = 25 dm [/math]

  A questo punto, avendo lo spigolo, è semplice calcolare la lunghezza della diagonale, questa volta del cubo:
  

  [math] D = \sqrt{3} \cdot L = 43,3 \; dm [/math]
• Problema 3
  La superficie totale
  [math]A_t[/math]
  di un cubo misura
  [math]1536 cm^3[/math]
  .
  Calcola la diagonale di un cubo equivalente a un quarto del primo.

  

  Svolgimento:
  A partire dalla superficie totale del primo cubo possiamo trovare la misura dello spigolo

  [math]L[/math]
  . Innanzitutto, dividiamo per
  [math]6[/math]
  l’area totale, così da avere l’area di una sola faccia
  [math]A_b[/math]
  , poi estraiamo la radice quadrata.
  [math] A_b = \frac{1536}{6} = 256 cm^2 [/math]
  [math] L = \sqrt{256} = 16 cm [/math]

  A questo punto possiamo calcolare il volume

  [math]V_1[/math]
  del primo cubo:
  [math] V_1 = L^3 = 16^3 = 4096 cm^3 [/math]

  Dividendo questo volume per quattro, otteniamo il volume

  [math] V_2[/math]
  del secondo cubo:
  
  [math] V_2 = 1024 \; cm^3 [/math]

  Da questo valore possiamo ottenere quello dello spigolo del secondo cubo

  [math] L_2:[/math]
  [math] L_2 = \sqrt[3]{1024} = 10,0 cm [/math]

  E infine la diagonale del secondo cubo

  [math]D_2[/math]
  :
  
  [math] D_2 = \sqrt{3} \cdot 10,08 = 17,46 \; cm [/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle formule di geometria solida, utili per risolvere moltissimi problemi vedi anche qua