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Sintesi
In questo appunto verrà risolto un problema di geometria su un trapezio scaleno attraverso l'applicazione di equazioni di primo e secondo grado.
Perchè si applicano le equazioni di primo e secondo grado in geometria
Quando si affronta un problema di geometria, l'obiettivo principale è determinare le incognite mancanti per calcolare la grandezza richiesta dall'esercizio.
Nel momento in cui si effettua quest'approccio, non è detto che tutte le equazioni del problema siano lineari, ossia di primo grado. In quel caso, infatti, risolverle è molto semplice, in quanto basta isolare al primo membro l'incognita da trovare e il gioco è fatto.
Quando, invece, le equazioni da risolvere sono di secondo grado - in particolare quando l'incognita appare con esponente due - la risoluzione diventa leggermente più complicata. Analizzeremo nel paragrafo successivo un esercizio sul trapezio scaleno in cui è necessario risolvere un'equazione di secondo grado per giungere al risultato richiesto.
Problema su un trapezio scaleno da risolvere con equazioni
Come abbiamo anticipato, la risoluzione di un problema di geometria piana spesso richiede l'impiego di equazioni di primo o secondo grado per arrivare a determinare le incognite.
Ecco il testo del problema.
In un trapezio
[math]ABCD[/math]
, la base maggiore [math]AB[/math]
misura [math]11a[/math]
, la base minore [math]CD[/math]
misura [math]6a[/math]
, i lati obliqui [math]BC[/math]
e [math]AD[/math]
misurano rispettivamente [math]2a\sqrt{5}[/math]
e [math]5a[/math]
. Determinare l'area del trapezio e la misura delle sue diagonali.Quando risolviamo un problema di geometria aiutiamoci sempre con un disegno e con una tabella in cui riportare i dati e le incognite.
Possiamo fare una tabella come questa ad esempio:
Ed ora il disegno:
Ora procediamo con lo svolgimento. Ricordiamo innanzitutto la formula dell'area del trapezio:
[math]Area=\frac{(B+b)\cdot h}{2}[/math]
, non abbiamo l'altezza, quindi dobbiamo ricavare la sua misura.Il trapezio è scaleno e per questo motivo i due segmenti
[math]AH[/math]
e [math]KB[/math]
non sono uguali, poniamo allora:[math]AH=x[/math]
e [math]KB=y[/math]
Sempre aiutandoci con il disegno, abbiamo che:
[math]AH=AB-HK-y[/math]
da cui
[math]AH=11a-6a-5=5a-y[/math]
avendo posto
[math]AH=x[/math]
abbiamo la prima equazione:[math]x=5a-y[/math]
Applichiamo a questo punto il teorema di Pitagora al triangolo
[math]AHD[/math]
per ricavare l'altezza [math]DH[/math]
, e facciamo la stessa cosa nel triangolo [math]CKB[/math]
, per ricavare [math]CK[/math]
. Uguagliando le due espressioni ottenute per l'altezza, abbiamo la nostra seconda equazione:[math]\sqrt{25a^2-x^2}=\sqrt{20a^2-y^2}[/math]
Ed ora sostituendo al primo membro il valore di
[math]x=5a-y[/math]
e poi elevando al quadrato i due membri per eliminare la radice, possiamo risolvere la nostra equazione in una sola incognita [math]y[/math]
:[math]20a^2-10ay=0[/math]
fatto questo possiamo calcolare l'altezza e poi l'area.
Passiamo alla seconda richiesta, ossia la misura delle diagonali. Inseriamo le diagonali nel disegno:
Osserviamo ancora il trapezio,
[math]AC[/math]
è l’ipotenusa del triangolo rettangolo[math] AKC[/math]
e [math]DB[/math]
è l’ipotenusa del triangolo rettangolo [math]DHB[/math]
, applicando due volte il teorema di Pitagora possiamo calcolare la misura delle due diagonali.Di seguito mostreremo i passaggi algebrici fondamentali per risolvere questo problema.
Come abbiamo già anticipato, per risolvere questo problema bisogna applicare il teorema di Pitagora per ricavare entrambe le altezze e poi uguagliare le equazioni ottenute in quanto le altezze di un trapezio sono congruenti.
Per ricavare l'altezza
[math]DH[/math]
: [math]\sqrt{5a^2-x^2}=\sqrt{25a^2-x^2}[/math]
Per ricavare l'altezza
[math]CK[/math]
: [math]\sqrt{(2a\sqrt5)^2-y^2}=\sqrt{20a^2-y^2}[/math]
Eguagliando le equazioni ottenute:
[math]\sqrt{25a^2-x^2}=\sqrt{20a^2-y^2}[/math]
Per risolvere quest'equazione eleviamo entrambi i membri al quadrato:
[math]25a^2-x^2=20a^2-y^2[/math]
spostiamo la quantità
[math]20a^2[/math]
al primo membro:[math]25a^2-20a^2=x^2-y^2[/math]
effettuiamo i calcoli tra monomi simili, cioè avente stessa parte letterale:
[math]x^2-y^2=5a^2[/math]
Sfruttando la relazione precedentemente ottenuta dal disegno cioé
[math]x=5a-y[/math]
[math](5a-y)^2-y^2=5a^2[/math]
svolgiamo il quadrato di binomio presente:
[math]25a^2-10ay+y^2-y^2=5a^2[/math]
e infine risolviamo rispetto a
[math]y[/math]
:[math]25a^2-10ay=0[/math]
[math]y=\frac{20a^2}{10a}=2a[/math]
Dopo aver definito il valore di y, possiamo calcolare l'altezza in funzione di
[math]a[/math]
:[math]CR=\sqrt{20a^2-y^2}=\sqrt{20a^2-4a^2}=\sqrt{16a^2}=4a[/math]
A questo punto, l'area del trapezio risulta calcolabile:
[math]A=\frac{(B+b)h}{2}=\frac{(11a+6a)4a}{2}=34a^2[/math]
Dopo aver calcolato l'area, è possibile calcolare le diagonali, applicando nuovamente il teorema di Pitagora.
Per la diagonale
[math]AC[/math]
:[math]AC=\sqrt{AK^2+CK^2}=\sqrt{9a^2+4a^2}=\sqrt{81a^2+16a^2}=\sqrt{97a^2}[/math]
Per la diagonale
[math]DB[/math]
:[math]DB=\sqrt{DH^2+HB^2}=\sqrt{(4a^2)^2+(8a)^2}=\sqrt{16a^2+64a^2}=\sqrt{80a^2}=4a\sqrt5[/math]
La risoluzione è terminata poiché tutte le richieste sono state soddisfatte. In particolare, esse sono state espresse in funzione del parametro
[math]a[/math]
: puoi ottenere un valore numerico del risultato sostituendo al parametro [math]a[/math]
il suo valore.Per ulteriori approfondimenti sul trapezio scaleno vedi anche qua
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