Pensiero come razionalità

esprime tale area viene chiamato integrale della funzione esteso

all'intervallo . Se il grafico della funzione è costituito da uno o più

segmenti, il problema si risolve facilmente, poiché la figura si può

scomporre in rettangoli o trapezi, di cui sappiamo definire e

calcolare le aree: la somma algebrica di tali aree è – per definizione

– l'integrale cercato. Nel caso generale, l'idea di base consiste nel

suddividere la figura in sottili strisce verticali, che siano assimilabili

a rettangoli: calcolando l'area di ciascun rettangolino e sommando i

risultati così ottenuti, si può ritenere di avere un'approssimazione

del numero che cerchiamo. Il calcolo integrale non è quindi che un

esempio di calcolo infinitesimale: si può infatti dire che l’area è

tanto più precisa quanto più è elevato il numero dei rettangolini (e

quindi quanto più essi sono piccoli), il cui numero tende quindi a

infinito. A questo proposito il tedesco Bernhard Riemann definì

l’integrale in un intervallo limitato chiuso [a;b] di una funzione f(t)

proprio come il limite della sommatoria delle aree dei rettangoli di

ampiezza (b-a)/n e di altezza f(t), per n (il loro numero) che tende a

infinito; cioè:

Da questa formula emerge un altro concetto matematico che

nell’ottocento ebbe un’estrema fortuna nel campo dell’analisi di

funzioni e che può riuscire ad aggirare i problemi riguardo a infiniti

e infinitesimi che abbiamo incontrato fino ad ora: quello di limite.

Infatti, invece di analizzare i singoli punti di una funzione, si prende

δ(ε)

in considerazione un intorno sulle ascisse che racchiude quel

ε

punto (quindi si ammette un errore sulle ordinate) e poi si cerca di

δ

ridurre sempre più quell’errore fino ad arrivare a un valore

accettabile. É un po’ come cercare di volgere a nostro favore il

paradosso di Zenone. La formula generale del limite è del tipo:

Un tentativo di vera e propria matematica dell’infinito si ha però con

Georg Cantor, russo di nascita ma di nazionalità tedesca. In breve,

egli sosteneva che fossero misurabili anche gli insiemi infiniti: essi

sono quelli in cui non è vero che il tutto è maggiore di una sua

parte. Quindi secondo Cantor si possono costruire delle gerarchie di

infiniti, che distingue tra numerabili e reali. Un altra teoria sempre

riguardante insiemi infiniti ritiene che se si possono mettere in

corrispondenza biunivoca tutti gli elementi di due insiemi allora

questi sono uguali: ad esempio l'insieme N dei numeri naturali può

porsi in corrispondenza biunivoca con il suo sottoinsieme costituito

dai soli numeri pari perchè

possiamo associare ad ogni numero il suo doppio stabilendo la

corrispondenza voluta di tipo 2n:

b 0 0, 1 2, 2 4, 3 6, ...

↔ ↔ ↔ ↔

Lasciamo qui la matematica per sviluppare un altro campo in cui,

soprattutto nell’ultimo secolo, l’uomo ha dimostrato di volersi

spingere fino ai limiti della conoscenza. La fisica può essere

considerata, soprattutto dopo le innovazioni apportate da

personalità eccelse come Galilei, la scienza naturale per eccellenza.

Nel corso della storia di questa attività si devono riconoscere quindi

almeno due grandi “rivoluzioni”: prima di tutto quella, già

accennata, avvenuta nel corso del XVII secolo grazie all’operato, per

citarne alcuni, del pisano Galileo Galilei e dell’inglese Sir Isaac

Newton. Essa si può considerare il trionfo del metodo scientifico e

vide la realizzazione di numerosissime scoperte in tutti i campi

delle scienze naturali. Dunque, fino agli inizi del XX secolo, la “fisica

classica” era considerata uno dei pochi “paradigmi” scientifici, per

usare un termine kuhniano, che non potesse essere confutato.

Eppure, come tutti sappiamo, gli studi di un celeberrimo e bizzarro

ragazzo di Ulma rivoluzionarono per sempre il modo di concepire la

fisica e il mondo stesso. Non a caso ho usato il termine ragazzo:

Albert Einstein aveva appena ventisei anni quando pubblicò la sua

teoria della relatività generale, oltre a degli studi sulla meccanica

quantistica che sempre in quegli anni stava sviluppandosi

notevolmente grazie agli studi di Niels Bohr e Max Planck. Benchè

sia la relatività che la teoria dei quanti dimostrino dove l’uomo può

arrivare col ragionamento, in questa sezione mi fermerò

brevemente su quest’ultima, che arriva a studiare dei fenomeni che

si svolgono a un livello infinitamente piccolo, ma che possono avere

conseguenze macroscopiche notevoli. Prima di parlare dei quanti è

necessario definire la particella atomica elementare: l’elettrone

(anche se oggi è provato che esistano particelle ancora più piccole,

i quark). La scoperta della natura subatomica di questa particella si

deve all’inglese J.J.Thomson all'interno del Laboratorio Cavendish

dell'Università di Cambridge, mentre svolgeva esperimenti sul tubo

catodico. La scoperta di un corpuscolo di dimensioni microscopiche

e di carica negativa era già stata effettuata qualche anno prima,

ancora tramite gli esperimenti sui raggi catodici: Thomson tuttavia

riuscì a trovare il rapporto tra la carica e la massa dell’elettrone.

Egli utilizzò un tubo a vuoto in cui gli elettroni sono emessi per

effetto termoionico dovuto al riscaldamento di un filamento:

essi vengono accelerati per mezzo di una differenza di potenziale

verso l’anodo che ne lascia passare un fascio piuttosto sottile.

Successivamente, dopo aver attraversato la regione di piano

compresa tra le due piastre metalliche che formano un

condensatore, colpiscono uno schermo fluorescente lasciando come

immagine un puntino luminoso. Grazie alle leggi del moto

parabolico e rettilineo uniforme e all’uso di un campo magnetico per

correggere la deviazione del fascio e quindi per trovare la velocità

degli elettroni, Thomson riuscì a calcolare la deflessione sullo

schermo e quindi a trovare il valore del rapporto e/m. Quasi

quindici anni dopo, lo statunitense Robert Millikan completò, per

così dire gli studi di Thomson riuscendo a trovare la carica e, di

conseguenza, la massa dell’elettrone. Il dispositivo sperimentale

utilizzato per raggiungere questo scopo è essenzialmente un

condensatore, tra le cui piastre sono spruzzate, per mezzo di un

polverizzatore, delle piccolissime gocce d’olio. Mentre si formano, le

gocce si caricano per strofinio, positivamente o negativamente a

seconda che perdano o acquistino elettroni.

In assenza di campo elettrico una goccia è soggetta all’azione della

forza peso e della forza di attrito viscoso che ne contrasta la caduta.

Dopo un certo intervallo di tempo la goccia raggiunge una

condizione di regime caratterizzata da una velocità di caduta

costante: eguagliando le due forze si può determinare il raggio della

goccia e quindi risalire alla sua massa. Applicando poi alle armature

una differenza di potenziale si può regolare il campo elettrico in

modo che la goccia si fermi sospesa a mezz’aria. Dall’eguaglianza

tra forza peso e forza elettrica, si può risalire alla carica assunta

dalla goccia. Millikan notò che i valori delle cariche associate ai

corpuscoli erano tutti multipli interi di una quantità minima

e=1,602*10^-19 Coulomb. I risultati di questo esperimento

rappresentano una prova decisiva del fatto che la carica elettrica

sia quantizzata. Ma cosa vuol dire il termine

“quanto”? Per quanto riguarda appunto la meccanica quantistica si

chiama quanto una quantità discreta ed indivisibile di una certa

grandezza. La meccanica quantistica, dunque, riunisce un

complesso di teorie fisiche formulate nella prima metà del XX

secolo che descrivono il comportamento della materia a livello

microscopico, a scale di lunghezza inferiori o dell'ordine di quelle

dell'atomo o ad energie nella scala delle interazioni interatomiche,

dove cadono le ipotesi alla base della meccanica classica. Essa

permette di interpretare e quantificare fenomeni che, nell'opinione

della maggior parte dei fisici contemporanei, non possono essere

giustificati dalla meccanica classica, le cui previsioni sono in questi

casi in completo disaccordo con i risultati sperimentali. Una delle

principali peculiarità della meccanica quantistica è data dal fatto

che in essa lo stato e l'evoluzione di un sistema fisico vengano

descritti in maniera intrinsecamente probabilistica. Uno degli effetti

più famosi che questo nuovo concetto di probabilità racchiude è

dato dal cosiddetto principio di indeterminazione di Heisenberg:

esistono coppie di variabili (tra loro non compatibili), come

posizione e impulso di una particella, il cui valore non può essere in

linea di principio conosciuto simultaneamente con precisione

arbitraria. La meccanica quantistica elimina anche la distinzione tra

particelle e onde che aveva caratterizzato la fisica del XIX secolo.

Da un lato, infatti, l'evoluzione temporale di un sistema quantistico

è un'evoluzione deterministica con fasi oscillanti — il carattere

ondulatorio — di una distribuzione di probabilità; dall'altro, la

risposta alla misura di un'osservabile per un sistema quantistico si

presenta in maniera definibile — il carattere corpuscolare. Così, ad

esempio, l'evoluzione temporale non solo di un fascio luminoso ma

anche di un fascio di elettroni, o addirittura di un solo elettrone,

presenta le caratteristiche tipiche delle onde (fenomeni di

interferenza e diffrazione). Ma allo stesso tempo, all'atto della

misura non si ottiene un flusso continuo bensì una sequenza di

quanti, sia per gli elettroni, che non risultano dunque diffusi in tutto

lo spazio come la propria distribuzione di probabilità ondulatoria, e

sia per i “fotoni” (così sono chiamati i quanti di energia trasportati

dalla luce). A questa doppia natura ci si riferisce con l'espressione

dualismo onda-corpuscolo, in cui i due aspetti sembrano essere in

irriducibile contraddizione fra loro; inoltre spesso, proprio per questo

motivo, si ricorre ad una visualizzazione del comportamento di una

particella in termini di “funzione d'onda”. Fin qui ci si è riferiti

all’interpretazione della meccanica quantistica di “Copenaghen”,

ovvero la posizione degli studiosi come Bohr ed Heisenberg che

difendono lo strumentalismo della teoria: secondo loro non si può

dare portata ontologica ai termini teorici della scienza e quindi non

esiste accanto agli oggetti “classici” un mondo di oggetti

“quantistici”; è più corretto dire che si dà una descrizione

quantistica che ci permette di intendere un determinato fenomeno

macroscopico in relazione ad un apparato sperimentale di misura

macroscopico, descritto per definizione dai concetti della fisica

classica. A questa posizione si oppone quella realistica, difesa da

Einstein e altri studiosi, che nega la completezza della meccanica

quantistica in difesa di un realismo a cui non si può rinunciare. La

teoria dei quanti oggi spazia su numerosissimi campi: ad esempio in

chimica è utile per lo studio dei modelli atomici, poiché gli elettroni

di un atomo possono trovarsi solo in certi livelli di energia

quantizzata; essa poi, come già accennato, permette di dimostrare

la natura ondulatoria della luce e di osservare il trasporto di energia

da parte di essa tramite i fotoni, studi che hanno importanti

conseguenze, ad esempio, in astronomia.

Prima di concludere questo breve percorso nei meandri delle

scienze mi sembra significativo citare un passo di uno studioso e

scrittore statunitense Bill Bryson, tratto dall’introduzione del suo

«Non

libro “Breve storia di (quasi) tutto”: dubitai nemmeno per un

istante della correttezza dell’informazione –sono uno ancora incline

a credere alle affermazioni degli scienziati […]- però proprio non

riuscivo a concepire come avesse fatto una mente umana a stabilire

l’aspetto e la composizione di spazi che nessun occhio umano ha

mai visto e che nessun raggio X potrà mai penetrare. Per me era un

vero miracolo. E tale è rimasta la mia posizione nei confronti della

scienza.» In questa affermazione è possibile ritrovare il necessario

stupore che ognuno di noi, in modo più o meno forte, non può che

provare di fronte alle capacità dell’uomo: ed è il terrore, la paura, la