Fuoco e direttrice di una parabola nel caso generale

Fuoco e direttrice di una parabola nel caso generale

Francesco Daddi

Settembre 2009

Una parabola generica

1 può essere scritta nel modo seguente:

Nota: il tag em non viene utilizzato.

2 2 2 −

x + 2 kxy + y + wx + hy + s = 0 con (kh w) = 0 (1)

k

Vogliamo determinare le coordinate del fuoco F e l’equazione cartesiana della direttrice d. Sia

F (a ; b) e d : x = m y + q ; poiché la parabola è il luogo dei punti (x ; y) equidistanti da F e da d,

abbiamo:

2

|x − −

|x − − m y q|

m y q| 2 2

√ √

− − ⇒

2 2

(x a) + (y b) = (x a) + (y b) = ;

2 2

1 + m 1 + m

moltiplicando tutto per (1 + m 2) otteniamo:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

− − − −

)(x 2 a x + a + y 2 b y + b ) = x 2 m xy 2 q x + m y + 2 m q y + q ;

(1 + m

portando tutto a sinistra e ordinando ricaviamo:

2 2 2 2

− −

x + 2 m x y + y + (2 q 2 a 2 m a)x+

m 2 2 2 2 2 2 2 2

− − −

+(−2 m q 2 m b 2 b)y + a + m a + b + m b q = 0 ;

uguagliando con l’equazione (1) troviamo il seguente sistema nelle incognite a, b, m, q:

⎧ 2 2

⎪ m = k

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪ 2 m = 2 k

⎨ 2

− − a = w

2 q 2 a 2 m

⎪

⎪

⎪

⎪ 2 −

−2 −

⎪ b 2 b = h

m q 2 m

⎪

⎪

⎩ 2 2 2 2 2 2 2

−

+ m a + b + m b q = s

a

da cui ⎧

⎧ ⎪ m = k

⎪

⎪ m = k ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎪ w

⎪

⎪ w 2

⎪

⎪ 2 q = + a(1 + k )

⎨

⎨ q = + a(1 + k ) 2

2 ⇒ ;

3

w + h

kw + 2ka + 2ak

⎪

⎪ 2 2 ⎪

⎪ −2 − −

+ a(1 + k

k ) 2 b(1 + k ) = h ⎪

⎪ b =

⎪

⎪ 2

⎪

⎪ 2 2(1 + k )

⎪

⎪ ⎪

⎪ 2

w 2

⎪

⎩ w

⎩

2 2 2 2

− 2 2 2 2

−

(1 + k + a(1 + k

)(a + b ) ) = s + a(1 + k

)(a + b ) ) = s

(1 + k

2 2

1 y

È escluso solo il caso della parabola con asse parallelo all’asse delle

Fuoco e direttrice di una parabola nel caso generale - Francesco Daddi

Soluzioni

In definitiva, svolgendo i calcoli, si trovano le seguenti soluzioni:

⎧

⎪ m = k

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪ 2 2 2

⎪ − −

4sk h + 4s w

⎪

⎪

⎪ q =

⎪ −

⎪ 4(kh w)

⎨ 2 2 2

− − . (2)

2kwh h + 4s + w

4sk

⎪

⎪ a =

⎪ −

2

⎪ 4(1 + k )(kh w)

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪ 3 2 2