In quest'appunto troverai una introduzione generale alla geometria piana, con un focus specifico sull'esagono. Saranno inoltre fornite le formule per il calcolo dell'area e del perimetro.
Indice
La geometria piana: perché è importante e cosa studia
La geometria è la branca della matematica che studia le caratteristiche delle figure nello spazio e nel piano.
Le prime prendono il nome di figure solide, poiché dispongono di tre dimensioni: larghezza, altezza e profondità. Esse sono caratterizzate da facce, ossia dai poligoni che li compongono, da spigoli (cioè i lati delle facce) e da vertici, ossia dei punti in cui convergono tre spigoli.
Questi elementi giocano un ruolo fondamentale nel calcolo delle grandezze caratteristiche che sono la superficie di base, la superficie laterale, la superficie totale e il volume. Se il concetto di superficie è estendibile anche alle figure piane, quello di volume è proprio soltanto delle figure solide poiché indica la quantità di spazio racchiusa all'interno della superficie.
Le figure piane, invece, presentano soltanto due dimensioni: altezza e larghezza, le quali possono essere impiegate per il calcolo di perimetro e area. Il perimetro è pari alla somma dei segmenti (cioè i lati) che compongono il contorno della figura, mentre l'area rappresenta l'estensione del piano racchiusa all'interno del perimetro.
Le principali figure geometriche
Le figure geometriche possono essere raggruppate in famiglie in relazione alle caratteristiche dei lati e degli angoli che li compongono. In particolare, gli angoli sono parti di piano racchiuse tra due semirette aventi un origine in comune.
La prima grande distinzione può essere fatta tra figure poligonali e non poligonali. Sono poligonali tutte le figure cui contorno è rappresentato da una linea spezzata chiusa, come il quadrato, il rettangolo, il rombo etc. Una figura non poligonale è, invece, il cerchio.
Altri raggruppamenti possono essere tracciati a partire dal numero di lati. In tal caso, possiamo distinguere:
- i triangoli, ossia poligoni formati da tre angoli e tre lati. In relazione a questi ultimi possono essere distinti in isosceli (se dispongono di due lati congruenti), equilateri (se i lati sono tutti congruenti) e scaleni, qualora i lati siano tutti disuguali. Sfruttando gli angoli, invece, i triangoli sono classificabili in rettangoli (se è presente un angolo retto), acutangoli (se sono presenti solo angoli acuti) e ottusangoli (se è presente un angolo ottuso)
- I quadrilateri. Fanno parte di questa famiglia tutti i poligoni aventi quattro lati come i quadrati e i rettangoli. Nel caso di questi ultimi, gli angoli sono tutti congruenti e retti. Essi differiscono per le caratteristiche reciproche dei lati; nel quadrato, ad esempio, i lati sono tutti uguali mentre nel rettangolo solo i lati opposti sono congruenti.
Esistono anche dei quadrilateri aventi gli angoli non retti, ossia i generici parallelogrammi. - i pentagoni, ossia poligoni formati da cinque lati
- gli esagoni e così via
Gli esagoni regolari: cosa sono e come calcolare il perimetro e l'area
Gli esagoni sono delle figure piane aventi sei lati e sei angoli. A seconda delle caratteristiche di questi ultimi elementi, essi possono essere regolari oppure no. Un poligono è regolare se tutti i lati e gli angoli sono congruenti: in questo caso, essi presentano un'ampiezza di
.
Dal punto di vista geometrico, le informazioni più rilevanti sono le seguenti:
- all'interno di un esagono è possibile tracciare nove diagonali differenti
- per il calcolo del perimetro e dell'area è necessario considerare l'apotema. L'apotema non è altro che il diametro della circonferenza inscritta all'esagono, ossia quella circonferenza tangente ai lati del poligono. Essa può essere calcolata come il prodotto tra il raggio e il valore [math]\frac{\sqrt{3}}{2}[/math].
Le formule da utilizzare per il calcolo di area e perimetro dell'esagono sono le seguenti:
- il perimetro si calcola moltiplicando per sei volte la lunghezza del singolo lato, quindi come [math]p=6 \cdot l[/math]
- l'area si calcola moltiplicando il perimetro per l'apotema e facendo il semiprodotto. In termini matematici si ha che [math]A=\frac{p\cdot a}{2}=\frac{6\cdot a \cdot l}{2}[/math].
Esercizio svolto e commentato: calcola l'area e il perimetro di un esagono regolare
Il lato di un esagono regolare è lungo
. Calcola il perimetro e l'area.
Svolgimento commentato dell'esercizio
L'esagono considerato è un esagono regolare: per questo motivo, il calcolo del perimetro risulta piuttosto immediato. Per ottenere tale valore è necessario moltiplicare per sei la misura del singolo lato, e quindi
.
Per ottenere l'area, invece, bisogna in primis calcolare l'apotema. Per fare ciò bisogna moltiplicare la lunghezza del lato per
e quindi
.
A questo punto si può calcolare l'area:
Per ulteriori approfondimenti sull'esagono regolare vedi anche qui
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