Geometria piana: teoria ed esempi pratici

In questo appunto di Geometria vengono presentate le caratteristiche fondamentali della geometria piana. Sono descritti gli elementi principali di geometria piana e le loro proprietà e caratteristiche, inoltre viene fornita una panoramica su alcuni teoremi e principi applicativi tramite definizioni teoriche e esempi pratici: sono proposti dei problemi pratici a cui viene affiancato uno svolgimento ed un'accompagnamento alla soluzione.

Definizione geometria piana

La geometria piana può essere definita come una sezione della geometria che si occupa dello studio degli enti e delle figure piane.

Partendo dal concetto primitivo di punto e retta, vengono costruiti i segmenti, le semirette e gli angoli. Tutti questi elementi, combinati tra loro, danno vita alle figure piane: figure che appartengono al piano cartesiano e che hanno quindi solo due dimensioni.

Per ulteriori approfondimenti sulla geometria piana vedi anche qua

Gli elementi della geometria piana

Prima di entrare nello specifico nella descrizione dei poligoni, andiamo a definire quali sono gli elementi fondamentali della geometria piana e le loro proprietà e caratteristiche. Gli elementi fondamentali della geometria piana sono:

Il punto: Il punto è un elemento geometrico che non possiede una sua dimensione, si dice infatti adimensionale. La sua funzione è quella di individuare una posizione all'interno del piano cartesiano. Il punto viene indicato con la lettera maiuscola ed è individuabile sul piano cartesiano da una coppia di coordinate A(x, y).

La retta:La retta è un ente geometrico costituito da infiniti punti che allineati nella stessa direzione. La retta non misura larghezza o spessore, l'unica misura che le si può attribuire è quella della lunghezza. La retta viene indicata con una lettera minuscola e disegnata con gli estremi tratteggiati per indicare il fatto che continua all'infinito sia da una parte che dall'altra, non sia cioè limitata da estremi.

Il piano: Un piano cartesiano è un ente geometrico fondamentale dotato di lunghezza e altezza, esso è quindi privo di spessore. Per denotare un piano utilizziamo le lettere minuscole dell'alfabeto greco e tracciamo al suo interno degli assi cartesiani, con origine nel punto 0: l'asse delle Ascisse e l'asse delle Ordinate. Tali assi ci permettono di individuare gli elementi al suo interno tramite l'utilizzo delle coordinate x e y.

Definizione di poligoni

Un poligono, in geometria, è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. Tale figura è composta da segmenti che prendono il nome di lati del poligono, i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.
Gli elementi fondamentali di questa figura sono quindi i lati e i vertici.

Per ulteriori approfondimenti sui poligoni vedi anche qua

Classificazione dei poligoni

In base alle proprietà di un poligono possiamo identificare diverse tipologie, iniziamo andando a definire cosa un poligono semplice e un poligono complesso. Un poligono è definito semplice quando ha i lati che non si intersecano, in caso contrario ci troviamo davanti ad un poligono complesso.

I poligoni semplici si possono suddividere a loro volta in due sottoinsiemi: i poligoni concavi e i poligoni convessi

• Poligono Convesso: poligono semplice che non contiene uno o più prolungamenti dei suoi lati
• Poligono Concavo: poligono semplice che contiene almeno un prolungamento dei suoi lati

Proprietà di simmetria dei poligoni

La proprietà della simmetria di un poligono afferma che il poligono può dirsi simmetrico se i punti corrispondenti di tale figura geometrica sono situati da parti opposte e ad uguale distanza rispetto a un punto o ad una retta. Tale proprietà permette di ottenere delle trasformazioni della figura data mantenendo intatte alcune delle caratteristiche misurabili come l'ampiezza degli angoli.
In relazione alla proprietà alla simmetria un poligono può essere definito nei seguenti modi:

• Equilatero: tutti i suoi lati sono uguali
• Equiangolo: tutti i suoi angoli sono congruenti, cioè hanno la medesima ampiezza.
Se i vertici del poligono in questione appartengono alla medesima circonferenza, il poligono viene detto "ciclico"
• Regolare: è convesso, equilatero ed equiangolo, oppure, è ciclico ed equilatero
• Irregolare: non è regolare

Il triangolo

Ora andiamo a prendere in esame un particolare poligono: il triangolo. Il triangolo è una figura geometrica piana costituita da tre lati e tre angoli. In ogni triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due e sempre maggiore della loro differenza. In ogni triangolo la somma degli angoli interni è di 180°.

Gli elementi fondamentali di un triangolo sono i lati, i vertici e gli angoli. Questi tre elementi, combinati tra di loro possono dar vita a diverse tipologie di triangolo. Andando a prendere in esame i lati possiamo affermare che esistono tre diverse tipologie di triangolo:

• Equilatero:i suoi lati sono tutti e tre congruenti, anche gli angoli sono tutti uguali tra loro
• Isoscele: ha due lati uguali tra loro e uno diverso, gli angoli alla base sono congruenti
• Scaleno: i lati e gli angoli sono tutti diversi tra loro

Volendo invece fare una classificazione dei triangoli in base all'ambiezza dei suoi angoli possiamo procedere andando ad individuare le seguenti tipologie di triangolo:

• Acuto:il triangolo presenta tre angoli acuti, cioè con ampiezza compresa tra 0° e 90°
• Ottuso: il triangolo presenta un angolo ottuso, cioè un angolo con ampiezza maggiore di 90° e minore di 180°
• Rettangolo: Il triangolo ha un angolo di 90°. In un triangolo rettangolo il lato opposto all'angolo retto prende il nome di ipotenusa, i lati che formano l'angolo retto si chiamano invece cateti.

Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria piana che mette in luce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo. Tale teorema afferma che: in tutti i triangoli rettangoli, l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Possiamo riassumere questa definizione utilizzando una formula geometrica. Data

l'ipotenusa del triangolo rettangolo,

e

i due cateti allora, per il teorema di Pitagora possiamo affermare che:

Di seguito possiamo trovare un esercizio svolto che ci permette di utilizzare praticamente il teorema di pitagora per il calcolo di alcuni elementi presenti all'interno del piano cartesiano dato.